整数問題の証明

質問

「ある整数n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数であることを証明せよ。」
という問題で、この問題の解答を一応書いておくと、
「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、
n=2k-1(kは整数)とおいて、
n(n+2)=(2k-1)(2k+1)=4k^2-1より、
n(n+2)は奇数なので8の倍数になりえず矛盾。
ゆえにnは偶数である」
ですが、私は、
「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、
n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、
n^2=2(4k-n)となり、n^2は偶数だから、
nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。
ゆえにnは偶数である」
と解いたのですが、これは解答として成立しますか？
違うのであれば具体的にどこが違うのかもお願いします。

回答No.5

Ae610 · ベストアンサー

ですが、私は、
１行目：「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、
２行目：n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、
３行目：n^2=2(4k-n)となり、[n^2は偶数だから]、<--これ書くとおかしい
４行目：nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。<--３行目からいきなり４行目を結論づける事は出来ない
５行目：ゆえにnは偶数である」

３行目（修正）
n^2=2(4k-n)で、nは奇数であるから左辺=（奇数）＾2=奇数
右辺=偶数となり矛盾
よってnは偶数でなければならない。

のほうが良い。

お礼

＞n^2=2(4k-n)で、nは奇数であるから左辺=（奇数）＾2=奇数
＞右辺=偶数となり矛盾

やはり、左辺は奇数で右辺は偶数であることを
説明しておかねばならないのですね。。。

回答No.4

take_5

＞背理法を使って証明しろという指示付きの問題です。

そんな事は、最初に書いとけよ。。。。。笑

私なら、以下の方法をとる。

nは奇数であると仮定する。
n(n+2)が8の倍数ならば、n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、n^2＋2n＝8kより、n^2＋2n＋1＝（n+1）＾2＝8k＋1となる。
ところが、nが奇数ならば　（n+1）＾2は偶数で、8k＋1は奇数となり矛盾。この矛盾は、nは奇数であると仮定した事による。
よつて、nは偶数である。

回答No.3

take_5

＞nは奇数であると仮定すると

そんな仮定は必要ないということだ。nは偶数である、事が直接証明できるから。
nが偶数ならばn^2も偶数、又、n＾2が偶数ならばnも偶数、これは証明の必要はないだろう。

お礼

すみません、背理法を使って証明しろという指示付きの問題です。

回答No.1

take_5

駄目だね。

＞n^2=2(4k-n)となり、n^2は偶数だから、nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。

“n^2は偶数だから”。。。なんで？
そこは、n^2=2(4k-n)であるから、右辺は2の倍数だから偶数、従って左辺のnも偶数、としなければならない。

でも、ひょっとすると、そういう意味で書いてるのかな？
誤解されやすい文章だ。

お礼

＞n^2=2(4k-n)であるから、右辺は2の倍数だから偶数、従って左辺のnも偶数、としなければならない、

そういう意図です。

回答No.2

sotom

質問者様の場合だと、「nが奇数ならばn^2も奇数」をも証明しなくては
ならないのではないだろうか？