解析学の証明問題です

質問

以下の証明問題を自分なりに解いてみました。
解答に自信がないので、この解き方であっているか、わかるかた
ご指導お願いします。

【問題】
各自然数に対して、an=n!/n^nとおく。
このとき、次の問題に答えよ。

(1)　0 < an < (1/n) (n=1,2,3...)を示せ。
(2) 数列{an}の極限値を求めよ。

【自分の答え】
(1)
n=1のとき、an=1が成立する。
次に、n=kのときにも成り立つことを仮定する。
すなわち、
0 < ak <= (1/k)から、0 < k! < k^(k-1)…(1)
1/(k+1) - (k+1)!/(k+1)^(k+1) = {(k+1)^k - (k+1)!}/(k+1)^(k+1)

ここで、(分子)=(k+1){(k+1)^(k) - (k)!) >= (k+1){(k)^(k-1)-(k)!}
>= (k+1){(k)^(k-1) - (k)!)
(1)より、>=0
上記より、1/(k+1) >= (k+1)!/(k+1)^(k+1) >= 0が成立する。
よって、n=k+1のときも成立する。
以上から、数学的帰納法により、任意の自然数nに対して
命題が成立する。

(2)
　(1)の結果を用いて、はさみうちの原理により
　n→∞のとき、(1/n)→0

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

0 < an < (1/n) (n=1,2,3...)-->0 < an ≦1/n (n=1,2,3・・・)
か、あるいは0 < an < (1/n) (n=3,4,5・・・)となると思います。
n=1だけでは、an=n!/n^nと1/nが等しくなってしまいます。n=3としてはじめて3!/3^3=2/9<1/3になります。なのでn=3まで書いたほうが宜しいかと・・・。

>>ここで、(分子)=(k+1){(k+1)^(k) - (k)!) >= (k+1){(k)^(k-1)-(k)!}>= (k+1){(k)^(k-1) - (k)!)≧0・・・第三不等式部分がダブってます。

(2)はanの極限を聞いているのだから
0＜lim[n→∞]an≦lim[n→∞]1/n→0
従って、lim[n→∞]an→0
としたほうが良いと思います。
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（別解）
n=kのとき成り立つとする。
すなわちa(k)=k!/k^k＜1/kとする。
n=k+1のとき
a(k+1)=(k+1)!/(k+1)^(k+1)=k!/(k+1)^k＜k!/k^k＜1/k
よってn=k+1のときにも成り立つ。
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お礼

返事遅くなりました。
大変丁寧な解説、ありがとうございます。
別解もありがとうございます。
勉強になりました。