離散数学の２項関係について

質問

「Ｓ＝｛1,2,3,…,n｝とする。　Ｓ上の２項関係は全部で何個？」
という問題なのですが、答えが良く分かりません。
　自分で考えたのは
(1,1),(1,2),…,(1,n)
(2,1),(2,2),…,(2,n)
　　　　　：
(n,1),(n,2),…,(n,n)
で、答えは n * n = 「n~2」　だと思うのですが、実際は「2~n~2」個らしいです。
　２項関係自体の理解も曖昧なのですが、よろしければ説明をお願いします。

回答No.3

yuntanach · ベストアンサー

Ｓの２項関係とは、ＳとＳを組にしたものの集合、
つまりＳ×Ｓを考え、そのＳ×Ｓのある部分集合のこと
をＳの２項関係と考えます。

要素の組だけでなく、「要素の組の集合」を考えた
ものが２項関係の正体です。

chromium_aiさんの例示したのはＳ×Ｓの全体の集合です。

２項関係はＳ×Ｓの部分集合なので、
例えば(1,2)だけの集合{(1,2)}も、1と2の間に２項関係が
あるというだけのきわめて小さな２項関係ですし、
他に例えばiが1からnまでとるとして、全てのiについて
(i,i)からなる集合{(1,1), (2,2), ... , (n,n)}も、
それぞれのiが自分自身とだけ関係があるという
２項関係のひとつとなります。
上記の二つの２項関係はＳ上の２項関係の一例ですが、
他にもたくさんのＳ上の２項関係を考えることができます。

このように可能な全ての部分集合をそれぞれが
別個の２項関係だと考えていき、
最大でn^2個の要素があるＳ×Ｓにはいくつの
部分集合があると考えることができるでしょうか
というのがもともとの設問となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　私の示していたのは「Ｓ×Ｓの直積」だったんですね。
つまり、(1,1) や (2,3) というのは [Ｓ×Ｓ] という集合の[要素]なのですね・・・
×や（）の表記など、今までと違うものが違う意味を持って突然現れたので理解できなかった次第でした。

具体例を挙げて説明して頂き、本当にありがとうございます。　特に最後の文節の説明がとても分かりやすく、参考になりました。

問題の答えも、自分で適当なnの値を使いやってみたところ、ちゃんと　2~n~2となりました。

回答No.2

Tacosan

「関係」が何かというのは, 本当は基本的な話なのでちゃんと教科書にあたってほしいんだけど...
例えば, 集合 S = { 1, 2, ..., n } 上の単項関係というのは S の各要素に対して真偽を返す関数, あるいはこれと同一視することのできる S の部分集合のこと.
一般に, S 上の k項関係というのは f: S×S×...×S → { F, T }, あるいはこれと同一視できる S^k = S×S×...×S の部分集合のこと (S×S×...×S はどちらも k 個の S の直積).
これだけわかれば, 2項関係がいくつあるかは簡単にわかるはず.

お礼

御回答ありがとうございます。
　本日習ったばかりのことで、教授は定義を示すだけで具体例も挙げず、まるで分かって当然のような教え方をされました。
実際そうなのかもしれませんが、理解させなければ意味が無いと思うんですよね・・・
そのような感じで、まだあまり定義的なことは理解できてない状態です。　回答して頂いた内容も、抽象的な概念を表されているようで、私にはまだ難しいです(^^;
　参考にさせて頂きます。

回答No.1

corpus

答は質問者様の通りでよいような気もします。
私が考えたのは次のような二項関係です。

({},{})
({1},{2})
({1,2},{2,3,4})

など。

お礼

例示ありがとうございます。
参考にさせていただきました。