一般項の求め方

質問

下の問題で一般項を求められませんでした。Σの問題なのですが、一般項の求め方を教えてください。

次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
（１）１、１＋２、１＋２＋２^２、・・・・

（２）１・ｎ、２・（ｎー１）、３・（ｎー２）

解答では、（１）一般項Ａｎ＝（２^２ー１）／（２－１）となっています。（２）の方のΣ式（一般項は載っていなかったので・・・）はΣｎ（ｎ＋１ーｋ）のようです。

これ以上くわしくできなさそうではあるんですが、どうも自力では一般項を求められそうにありません。

もし、わかりやすく回答頂ける方いましたら教えてください。一般項のみで結構です。

回答No.2

arit · ベストアンサー

(1)
等比数列のところでよくある問題ですね(^_^)/

一般項(第ｎ項)が和の形
1+2+2^2+2^3+…+2^(n-1)
になっているので、等比数列の和の公式で
An=1・(2^n-1)/(2-1)=2^n-1
と、なります。

さらに第ｎ項までの和Snは
Sn=Σ(2^n-1)=Σ(2^n)-Σ1
=2・(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-2-n
前半のΣが、また等比数列の和の公式というわけです。

(2)
Σ式の中身が一般項ですよ(^_-)ネッ
ただ、(2)ではｎは定数の扱いになるので注意！です。
並んでいる数は２数の積の形で、第k項は
前半が 1，2，3，… だから k
後半が n,n-1,n-2,… だから n-(k-1)=n-k+1
で、Ak=k(n-k+1)

さらに第ｎ項までの和Snは
Sn=ΣAk=Σk(n-k+1)=(n+1)Σk-Σk^2
=(n+1)・n(n+1)/2+n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(n+2)/6（通分後因数分解です）
と、なります。

がんばってください(^-^)/

お礼

テキストでこんなわかりやすい回答を・・・。最後の言葉も感謝です。完璧にわかりました。ありがとうございましたm(__)m。

回答No.1

stomachman

「一般項」ってのは一体何のことだか分かりかねます。

（１）
1, 1+2, 1+2+2^2,....を
K[m]=1+2+2^2+…+2^(m-1)
と書いてみましょうか。つまり
K[m]=(2^m)-1　（K[n]は等比級数だから簡単ですね。）
そして、求めたい和をS(n)として
S(n)=K[1]+K[1]+…+K[n]
とします。
K[m]=2K[m-1]+1
という関係があるから
S(n)-K[1]=K[2]+…+K[n]=2(K[1]+…+K[n-1])+(n-1)
であることが分かり、つまり
S(n)-K[1]=2(S(n)-K[n])+(n-1)
である。
K[1]=1
だから
S(n)=2K[n]-n
である。そしてK[n+1]=2K[n]+1だから
S(n)=K[n+1]-n-1
となります。それから
K[n+1]=2^(n+1)-1
を用いて
S(n)=2^(n+1)-n-2
となります。

（２）
J[m]=m (n-m+1)
のn項の和
T=J[1]+J[2]+…+J[n]
を求める問題です。
J[m]を展開して
J[m]=m(n+1)-m^2
だから
U=1(n+1)+2(n+1)+…+n(n+1)
と
V=1^2+2^2+…+n^2
を考えれば、
T=U-V
です。
U=(n+1)(1+2+…+n) = (n(n+1)^2)/2
V=(n+1)^2-1
ですから
T=(n(n+1)^2)/2-(n+1)^2+1
である。

どこまでご自分でやってみたのか示してないので、質問者にとってわかりやすいかどうかは保証致しかねます。

お礼

わざわざ回答ありがとうございます。こと細かに示してもらえたんでわっかりました！