交代式と対称式って？

質問

（a＋b）（b＋c)(c＋a）
どの二つの文字を入れ替えても、元の式と同じになる式を対称式という

（a-b)(b-c)(c-a)
どの２つの文字を入れ替えても元の式と符号だけ変わる式を交代式という。

この二つの文字を入れ替えるとは、具体的に
どういうことですか？？

どうぞよろしくお願いします！

回答No.3

take008 · ベストアンサー

> 交代式というものは、二つの文字を３つの因数全部で変えなければいけないのですか？
> 例えば、2つの因数だけ、二つの文字を入れ替えたら、
> 元の式と同じ符号になりますよね？

入れ替えるの意味を誤解していますね。
(a-c) を (c-a) にすることではありません。
f(a,b,c)＝(a-b)(b-c)(c-a) とおいて考えてみてください。
f(b,a,c)＝(b-a)(a-c)(c-b) が，aとbを入れ替えるということです。

f(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) だと
f(b,a,c)=(b-a)(a-c)(c-b)(b+a+c)

回答No.6

Trick--o--

あぁ、同じ文字を使うから混乱してしまうのですね。

(a-b)(b-c)(c-a)
のa,bを入れ替えます
X=a , Y=bと代入
(X-Y)(Y-c)(c-X)
a=Y , b=Xと代入
(b-a)(a-c)(c-b)

確認のために、元の式の符号を変えてみましょう
-(a-b)(b-c)(c-a) =
(-(a-b))(-(b-c))(-(c-a)) =
(b-a)(c-b)(a-c) =
(b-a)(a-c)(c-b)　　　（a,bを入れ替えた式と等しい）

b,c、a,cの組み合わせでも同様の結果になることを確認すれば、この式が交代式であることがわかります。

回答No.5

act11

簡単な例で考えてみましょう。

ｘ＋ｙ

この式で『ｘにｙ、ｙにｘを代入…(*)』してみてください。結果は

ｙ＋ｘ

ですね。２文字を入れ替えるとは、この(*）の作業をするということです。

回答No.4

noname#231526

質問は
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二つの文字を入れ替えるとは、具体的に
どういうことですか？？
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二つの文字とは、たとえば aとb。もちろん a と c でも、b と c でも構いません。ここでは、a と b で説明します。

これを入れ替えるとは文字そのものを置き換えると言うこと。
a という文字が b という文字にかわり、同時に b という文字は a という文字に変わる。
具体的には
(a + b) → (b + a) … a→b、同時に b→a。
(b + c) → (a + c) … b→a。c は変わらない。
(c + a) → (c + b) … a→b。c は変わらない。
だから(a + b) (b + c) (c + a) → (b + a) (a + c) (c + b)。これは整理すると(a + b) (b + c) (c + a)
(a - b) → (b - a) … a→b、同時に b→a
(b - c) → (a - c) … b→a。c は変わらない。
(c - a) → (c - b) … a→b。c は変わらない。
だから(a - b) (b - c) (c - a) → (b - a) (a - c) (c - b) 。これは整理すると -(a - b) (c - a) (b - c)

　他の式では、
(2a + b) → (2b + a) となる。
(2a + 3ab + 5b) → (2b + 3ba + 5a) となる。→整理すると(5a + 3ab + 2b)

二つの文字を入れ替えるとは、具体的にはこういうことです。

回答No.2

adinat

あくまでも任意の二文字について1回だけ文字の交換したら、ということです。たとえばa←→bという置換（入れ替え）を行ったとき
(a-b)(b-c)(c-a)
は
(b-a)(a-c)(c-b)
となって全体の符合が入れ替わります。もちろん偶数回すれば元の式に戻るし、奇数回すれば符号が入れ替わりますから、aをcに、bをaにcをbに変える置換を考えたいなら、aとbを入れ替え、さらにbとcを入れ替えることによって、元のa,b,cをb,c,aにできる、つまり二回の二文字の交換を行っているので、符合は変化しません。

二文字の置換（入れ替え）を互換といいます。交代式とは互換によって符号が変化する式のことだと言えます。もちろん互換三回行ってもやはり符合は変わりますよね。

お礼

有難うございます。
ん・・？？互換とは
(a-b)→（b-a）
（b-a）→（a-b)
(c-a)→(a-c)
でいいんですよね？
カッコの中の文字を逆にすると意味ですか？？
なんか、少し混乱してるようです↓↓

回答No.1

Trick--o--

a,b,cのどの二つの文字を入れ替えても～になる。
とは
１．aとbを入れ替える
２．bとcを入れ替える
３．aとcを入れ替える
のどれを行っても～になる。
という意味です。
てゆーか、言葉どおり？

元の式：(a+b)(b+c)(c+a)
１．(b+a)(a+c)(c+b)
２．(a+c)(c+b)(b+a)
３．(c+b)(b+a)(a+c)
どれも元の式と同じですね？
これが「対称式」です。

元の式：(a-b)(b-c)(c-a)
１．(b-a)(a-c)(c-b)
２．(a-c)(c-b)(b-a)
３．(c-b)(b-a)(a-c)
どれも、元の式の符号を変えたものですね？
これが「交代式」です。

お礼

有難うございます。
交代式で少し分からない所があるんですが、、
回答者様が出している例は三つの因数すべて入れ替えてますよね？？
っと言うことは、（－１）（－１）（－１）
で結局元の式の符号を変えたことになります。
交代式というものは、二つの文字を３つの因数全部で変えなければいけないのですか？例えば、2つの因数だけ、二つの文字を入れ替えたら、
元の式と同じ符号になりますよね？