対称式や交代式を因数分解に応用するときの考え方

質問

お世話になっております。タイトルの通りです。対称式、交代式の定義と性質(四則などの)は理解しているのですが、因数分解に応用するとなると、さっぱり使い方が分かりません。以下の例題について御解説いただけないでしょうか。

問　a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) を因数分解せよ。

恐らく与式が(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持つことになるのでしょうが、どう利用して良いのか分かりません。ヒントだけでも良いのでご回答願います。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

一般論としては差積を因子に持つことがわかっても結局割るしかないわけだが, この式に関していえば残る因子が「a+b+c の定数倍」になることはすぐにわかる. つまり
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) = k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
(k は定数) という形に因数分解でき, 右辺の適当な項を考えれば k の値も決まる.

というのが, この問題では最も簡単だろうねぇ.

お礼

凄いですね… もっと頑張らねば……

御回答感謝申上げます。じっくり考えます

回答No.2

spring135

対称式→対称性を壊せ

という定石を聞いたことはありませんか。

むやみの壊すのではなく代数の王道「降順」が指針です。

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+b^3c-bc^3

(つまりaの次数の高いもの優先で並べます)

=(b-c)[a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)]

[ ]の中だけ書きます。

a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)

=(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2

(今度はbの降順)

=(c-a)[b^2+bc-a^2-ac]

[ ]の中だけ書きます。

b^2+bc-a^2-ac=b-2-a^2+bc-ac=(b-a)(b+a+c)

答え

-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

お礼

単に因数分解については、「全ての文字について次数が等しい時は、一文字について降べきの順に整理する」というのは理解しているのですが……対称性を壊せというのは初耳ですね！
ご提示下さった式変形は自分でも導けたのですが、整式が交代式であるときに、交代式の基本性質を如何に因数分解に応用するのかが中々理解出来なく、少々疲れてきましたので明日に回します。
ご回答に感謝申上げます。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

例えば 3変数の交代式 f(x, y, z) はそれらの差積 Δ(x, y, z) = (x-y)(y-z)(z-x) を因子に持ち f(x, y, z) = g(x, y, z) Δ(x, y, z) と書ける.

ここで f(x, y, z) が交代式であることを使うと g(x, y, z) もある性質を持たないといけないことがわかる... はず.

お礼

むむむ！

…ご回答ありがとうございました

補足

出来れば、高校範囲に苦戦してる私にも理解出来る説明を戴きたかったですが、恐らく「数学」的には御回答者様の説明がもっとも簡潔で分かりやすいのでしょう。

「因子」とは、因数と同義として捉えて良いですか？
「三変数多項式f(x,y,z)の差積」とは、この質問で言うところの、最簡交代式ということで良いですか？

f(x,y,z)が交代式⇒f(x,y,z)は最簡交代式△(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)を因数にもつ。
となると、交代式同士の加減は対称式、交代式同士の乗除は対称式になるから、g(x,y,z)が対称式になる、……
g(x,y,z)が対称式ならば、基本対称式のみで表せる。ここから、共通因数作って…っていう筋道になるのでしょうか。