同次交代式、反対称？

質問

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=596464
#3の回答者の解説で、わからないところがありました。

＞a、b、cを３辺の長さとする三角形がある。
＞a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=0
＞が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か。
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＞左辺を f(a,b,c)とおくと，
＞f(a,b,c)は任意の２文字の交換に対して反対称で，
＞[∵f(b,a,c)=－f(a,b,c)など]

＞a,b,cの３文字に関する４次の同次交代式です．

＞するとf(a,b,c)は差積(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れて，これは３次なので，あと１次の
＞a,b,cの対称式との積になるので，それは　k(a+b+c)　(kは０でない定数)
＞f(a,b,c)＝k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (kは０でない定数)
＞と書けます．これを与式と係数比較して，例えばaについてa^3の項の係数を見れば
＞k＝－１と決まり，結局
＞f(a,b,c)＝－(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
＞（要するに因数分解すれば，途中は不要．）
　　　　　・
　　　　　・
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(a-b)、(b-c)、(c-a)を因数に持つことはわかります。

＞１次のa,b,cの対称式との積になるので，それは　k(a+b+c)　(kは０でない定数)

「１次のa,b,cの対称式との積」となるのはどうしてでしょうか？
「k(a+b+c)　(kは０でない定数)」とどうしてこのようにおけるのでしょうか？

同次交代式、反対称とはどういうものをいうのでしょうか。（検索してもわからず）
大学受験レベルまででお願いします

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

対称式とは文字を入れ替えても変わらない式。

交代式とは文字を入れ替えると＋－が変わってしまう式。

以上のことはいいですか。
そして交代式は「文字の差」と「対称式」の積で表せる
という定理があります。これは大学の教養程度で学ぶと
思いますが知っておいて損はありません。

そこで先の問題はａ，ｂ，ｃについて対等な交代式で
(a-b)(b-c)(c-a)（対称式）の形で表せます。
問題の式は４次式でしたから残り（対称式）の部分は
１次しかない。
１次の対称式はｋ（a+b+c)しかありません。

同次交代式とはすべての文字について同じ次数ということ
でしょう。すべての文字について交代式なら当然そうなります。

反対称という言葉はあまり使わないように思うのですが
どうでしょう。分野によって使っているのかも知れません。
今は交代式という言葉がわかっていればいいのではないかと思います。

お礼

なるほど。ありがとうございます。
交代式は簡単なのはa^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
なんかなのですね。
勉強になります。

回答No.3

noname#24477

前の回答に付け加えというか、訂正させてもらいます。

同次交代式　同次といっているのは、すべての項が４次であって
３次とかそれ以下の項がない、という意味でしょう。
そういう意味では斉次という言葉を使ったりもします。

そうすると残りの対称式は斉次の１次式（定数項が入っていない）
と言い切れます。

回答No.2

fushigichan

ONEONEさん、こんばんは。

私も対称式と交代式について書いてあるページを探したんですけど
あまり、はかばかしい説明はなかったです。

対称式というのは、
a^2+b^2+ab,
のようにaとbを入れ替えても同じ式です。
これは、基本対称式
a+b,ab
でもって表すことが可能です。
＜例＞
a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab

また、交代式というのは、a,bを入れ替えると符号が逆になる式で、
対象式と交代式で表すことができます。

＞するとf(a,b,c)は差積(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れて，これは３次なので，あと１次の
＞a,b,cの対称式との積になるので，それは　k(a+b+c)　(kは０でない定数)
＞f(a,b,c)＝k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (kは０でない定数)

ここの部分の回答は、それを使っているんですね。
かなり高度ですね。
知っていると、かなり便利なやり方ですね。
でも、高校程度でしたら、もうえいやっと展開しちゃって
あとはaについて降べきの順に並べて、因数分解していく方法でいいと思います。
（時間かかるけど・・）

因数分解をいっぱいやっていると、「これはこう解くんだな」とか
「こんな因数がでてくるはずだな」なんて見当がつくでしょうから
この問題で、一ついいことを発見しなたあと思っておくといいですね。
頑張ってください！！

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/sqrt2002.html