ナポレオンの定理 対称式

質問

辺の長さが対称式のとき、計算せずとも辺の長さが等しくなることが、わからないので質問します。
図のように、3角形ABCの外側に3つの正3角形ABD,BCE,CAFを作り、それらの重心をそれぞれG,H,Iとするとき次の問に答えよ、ただし、3角形ABCの面積をSで、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cで∠BACのをθで表すことにする。
(1)GI^2=AG^2+AI^2-AG*GI*cosθ+√3*AG*GI*sinθを示せ。
(2)AG^2+AI^2-AG*GI*cosθをa,b,cの式で表せ。
(3)√3*AG*GI*sinθをSの式で表せ。
(4)3角形GHIは正3角形であることを示せ。
(1)から(3)まではわかったので、GI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3となるのは納得できたのですが、(4)の解説でこれはa,b,cについての対称式だからGH^2,HI^2もこの値に等しいと書かれているのに納得がいきません。インターネットで調べたところ、A,B,Cを入れ替えを考えると、GI^2はa,b,cについての対称式だからそれにGH^2,HI^2も等しいらしいのですが、A,B,Cを入れ替えたら、a,b,cが入れ替わって
(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3が変わらないというのがわかりません。どなたかGI^2がa,b,cについての対称式だから、GH^2,HI^2もこの値に等しくなることを解説してくださいお願いします。

回答No.6

f272

#4です。
あなたのあげた例ではDE=(1/2)*BCとなって，a，b，cの対象式になっていませんから，対称性を用いた議論は適用できません。

元に戻って
GI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3
であれば，これを導いた考え方，式，文章がありますね。それをそのまま使えば図2でも
GI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3
が成立します。ここでa，b，cは元図での定義とは異なりますが，a，b，cの対象式になっていることから，a，b，cはは元図での定義だと思っても右辺の値は変わりません。
さて図2におけるGI^2と言ううのは元図のGH^2のことです。だから元図のGH^2=図2のGI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3になるのです。

お礼

補足に対して、お返事ありがとうございます。自分は対称式を理解できてないようなので、そこから調べ始めようと思います。

回答No.5

muturajcp

再再訂正です

(仮定1)
「
3角形ABC
の外側に
ABDが正3角形になるようにDをとる
BCEが正3角形になるようにEをとる
CAFが正3角形になるようにFをとる
ABDの重心をGとする
BCEの重心をHとする
CAFの重心をIとする
3角形ABCの面積をSとする
」
ならば
↓
(結論1)
「
|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3
|GI|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3
」
となる

(仮定1)と(結論1)のAとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えると

(仮定2)
「
3角形BAC
の外側に
BADが正3角形になるようにDをとる
ACFが正3角形になるようにFをとる
CBEが正3角形になるようにEをとる
BADの重心をGとする
ACFの重心をIとする
CBEの重心をHとする
3角形BACの面積をSとする
」
ならば
↓
(結論2)
「
|GH|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3
」
となる

(仮定1)「ABDが正3角形になるようにDをとる」と
(仮定2)「BADが正3角形になるようにDをとる」は同じ
(仮定1)「BCEが正3角形になるようにEをとる」と
(仮定2)「CBEが正3角形になるようにEをとる」は同じ
(仮定1)「CAFが正3角形になるようにFをとる」と
(仮定2)「ACFが正3角形になるようにFをとる」は同じ
(仮定1)「ABDの重心をGとする」と
(仮定2)「BADの重心をGとする」は同じ
(仮定1)「BCEの重心をHとする」と
(仮定2)「CBEの重心をHとする」は同じ
(仮定1)「CAFの重心をIとする」と
(仮定2)「ACFの重心をIとする」は同じ
(仮定1)「3角形ABCの面積をSとする」と
(仮定2)「3角形BACの面積をSとする」は同じ

だから
(仮定1)と(仮定2)は同値である
だから

(仮定1)
↓
(仮定2)
↓
(結論2)
「
|GH|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3
」
となる

b=|AC|
a=|CB|
c=|BA|
だから

|GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3

↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から

∴
|GH|^2=|GI|^2

お礼

何度も解説していただき、ありがとうございます。

回答No.4

f272

元の図を見てGI^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3となることが納得できるのなら、
図2を見てGH^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3
図3を見てHI^2=(c^2+b^2+a^2)/6+(2S)/√3
となることも納得できるでしょう。単に点、辺の名前を付け替えただけです。
これがa,b,cについての対称式だからGH^2,HI^2もこの値に等しいということの内容です。

お礼

図を使った解説ありがとうございます。何時間か考えます。

補足

よろしければお返事ください。
辺や点の名前を入れ替えても、長さが変わらないか簡単な例で考えてみました。(正三角形を外側につくり、その重心をとるかわりに、中点をとると考えました。)頂角A、底辺BCの三角形で、ABの中点D、ACの中点E,とすると中点連結定理よりDE=(1/2)*BC。そこで点Aと点Bを入れかえて、底辺ACの中点Eと辺BAの中点Dの長さが、DE=(1/2)*BCとなるのですが、図形をかくと最初にACだった長さが、点Aと点Bを入れかえるとBCの長さになるので、点の入れ替えでDEの長さが変わってしまうと思うのですが、お返事の考えかたが正しいとすると、点の入れ替えでDEの長さが変わらないと思うのですが、よろしければ自分の考えの間違いや、お返事の考え方との差を教えていただけると幸いです。

回答No.3

muturajcp

再訂正です

(仮定1)
「
3角形ABC
の外側に
ABDが正3角形になるようにDをとる
BCEが正3角形になるようにEをとる
CAFが正3角形になるようにFをとる
ABDの重心をGとする
BCEの重心をHとする
CAFの重心をIとする
3角形ABCの面積をSとする
」
ならば
↓
(結論)
「
|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3
|GI|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3
」
となる

(仮定1)のAとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えると

(仮定2)
「
3角形BAC
の外側に
BADが正3角形になるようにDをとる
ACFが正3角形になるようにFをとる
CBEが正3角形になるようにEをとる
BADの重心をGとする
ACFの重心をIとする
CBEの重心をHとする
3角形BACの面積をSとする
」

(仮定1)「ABDが正3角形になるようにDをとる」と
(仮定2)「BADが正3角形になるようにDをとる」は同じ
(仮定1)「BCEが正3角形になるようにEをとる」と
(仮定2)「CBEが正3角形になるようにEをとる」は同じ
(仮定1)「CAFが正3角形になるようにFをとる」と
(仮定2)「ACFが正3角形になるようにFをとる」は同じ
(仮定1)「ABDの重心をGとする」と
(仮定2)「BADの重心をGとする」は同じ
(仮定1)「BCEの重心をHとする」と
(仮定2)「CBEの重心をHとする」は同じ
(仮定1)「CAFの重心をIとする」と
(仮定2)「ACFの重心をIとする」は同じ
(仮定1)「3角形ABCの面積をSとする」と
(仮定2)「3角形BACの面積をSとする」は同じ

だから
(仮定1)と(仮定2)は同値である
だから

AとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えても
(仮定)は変わらないのだから
(結論)の
AとBを入れ替え,EとFを入れ替え,HとIを入れ替えても
同じだから

|GI|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3

↓AとBを入れ替え,HとIを入れ替えると

|GH|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3

b=|AC|
a=|CB|
c=|BA|
だから

|GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3

↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から

∴
|GH|^2=|GI|^2

回答No.2

muturajcp

訂正です
|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3

G=(ABD重心)
D=(ABDが正3角形となるD)
I=(CAF重心)
F=(CAFが正3角形となるF)
H=(CBE重心)
E=(CBEが正3角形となるE)

a=|BC|
b=|CA|
c=|AB|
だから

|(ABD重心)(CAF重心)|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3

↓AとBを入れ替えるとFとEが入れ替わるから

|(BAD重心)(CBE重心)|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3

G=(BAD重心)
H=(CBE重心)
b=|AC|
a=|CB|
c=|BA|
だから

|GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3

↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から

∴
|GH|^2=|GI|^2

補足

よろしければお返事ください。
AとBを入れ替えるとFとEが入れ替わるから。と解説にありますが、
これは図形を変えないようにする(添付した図が、DCを軸として回転したようになる)ためですか？

回答No.1

muturajcp

|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3

G=(ABD重心)
I=(CAF重心)
a=|BC|
b=|CA|
c=|AB|
だから

|(ABD重心)(CAF重心)|^2=(|BC|^2+|CA|^2+|AB|^2)/6+(2S)/√3

↓AとBを入れ替えると

|(BAD重心)(CBF重心)|^2=(|AC|^2+|CB|^2+|BA|^2)/6+(2S)/√3

G=(BAD重心)
H=(CBF重心)
b=|AC|
a=|CB|
c=|BA|
だから

|GH|^2=(b^2+a^2+c^2)/6+(2S)/√3

↓これと|GI|^2=(a^2+b^2+c^2)/6+(2S)/√3から

∴
|GH|^2=|GI|^2