積分方程式の解核

質問

K(t,s)=t/sとしたときの解核を求めるのですが、以下の手順で求めた解が正しいかわかりません。ご助言をお願いします。
x(t)-λ∫「t、s、λ」x(s)ds=t

K(t,s)=t/s

K2=∫K1(t,u)K(u,s)du
　=∫t/u*u/sdu
　=∫t/sdu
　=[t/s*u]t,s
　=tt/s-t
　=t/s(t-2)

k3=∫K2(t,u)K(u,s)du
　=∫t/s(t-s)*t/sdu
　=t/s∫(t-u)du
　=t/s([tu]t,s-[1/2uu]t,s)
　=t/2s(t-2)^2

K2(t,s)=t/s(t-s)
K3(t,s)=t/s*1/2*(t-s)^2
より
Kn=t/s*1/(k-1)!*(t-s)^k-1
よって
Γ(t,s,λ)=t/s*e^λ(t-s)
y(t)=te^λ

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

Fredholm型ならば積分区間は0から1まで、Volterra型ならば積分区間は0からtまでとすべきですね。以下にVolterra型積分方程式
　　x(t)-λ∫ [0~t]K(t,s) x(s)ds=t　…(1)

でK(t,s)=t/s の場合について書きます。逐次代入法によると、解は
　x(t) = t + Σ{n=1~∞}λ^n ∫ [0~t]Γn(t,s) s ds 　…(2)
ここで

　 ∫ [0~t]Γn(t,s) s ds
= ∫ [0~t]ds1∫ [0~s1]ds2…∫ [0~sn-1]ds K(t,s1)K(s1,s2)…K(sn-1,s) s 　…(3)
= (1/n!)∫ [0~t]ds1∫ [0~t]ds2…∫ [0~t]ds K(t,s1)K(s1,s2)…K(sn-1,s) s 　…(4)
= (1/n!)∫ [0~t]ds1∫ [0~t]ds2…∫ [0~t]ds t
= t^(n+1)/n!
よって
　x(t) = t + Σ{n=1~∞}λ^n t^(n+1) /n!
これを元の方程式に代入してみると解になっていることが分かります。上の(3)と(4)の間のステップについては
　http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=642279
のNo4とNo5をご参照下さい。

お礼

逐次代入法をよく知らないのですが、手順を見ると区分求積法と理解してよろしいのでしょうか？
　いずれにしろ、ご解答頂いた
　x(t) = t + Σ{n=1~∞}λ^n t^(n+1) /n!をもとに
　x(t)を算出すると
　x(t) = t + (e^λt-1)t
= te^λt
となります。
これは私のy(t)=te^λとｔが異なりますが、
渡井ｓの計算ミスで
y(t)=te^λtが正しいことがわかりました。
まずはお礼申し上げます。

回答No.3

grothendieck

逐次代入法のことを区分求積法とは呼びません。逐次代入法の別の呼び方はノイマン級数です。積分方程式の別の解き方としてはFredholm型に対してはFredholmの解法があります（K(t,s)が対称でなければHilbert-Schmidtの方法は使えません）。Volterra型積分方程式は微分方程式に直して解くこともできます。

お礼

なるほどわかりました。
ご丁寧にありがとうございます。

回答No.1

grothendieck

x(t)-λ∫ K(t,s) x(s)ds=t
でsの積分区間を明示して下さい。積分区間がsからtまでということはないはずです。積分区間によってFredholm型とVolterra型に分かれます。

補足

ご質問に支援を頂きありがとうございます。

元々の出題内容を以下に示します。
上記質問は、まずVolterra型の方程式から解核Γ(t,s,λ)を求めるまでを行いました。そこまでの手順が不安です。その後、各型に応じた区間でさらに解の算出を行うことになろうかと思いますが、それでいいのでしょうか？

元の問題
　関数ｋ（ｔ）は区間［０，１］において正の連続関数であるとする。核Ｋ（ｔ、ｓ）＝ｋ（ｔ）/ｋ（ｓ）に対し、区間［０，１］における　（１）フレドホルム型、（２）ヴォルテラ型の積分方程式それぞれの場合に、解核を求めよ。