熱方程式に関する補題

質問

熱方程式の解についてです。

＜補題＞
S={(x,t):x∈R^n,0<t≦T}とする。
このときSでコンパクトな台をもつ任意のφ∈C^2に対して
∫[τ1~τ2] ∫{u(∂φ/∂t)+uΔφ}dxdt = ∫u(x,τ2)φ(x,τ2)dx- ∫u(x,τ1)φ(x,τ1)dx
（ただし0<τ1<τ2<T)
を満たすようなu(x,t)∈Sは
∂u/∂t=∂^2u/∂t^2 (u≧0)
の非負な解となる

この補題の証明が分からなく苦戦しています。
テキスト等には解説がなにもありませんでした。

よろしければどなたか証明や解説をお願いいたします＞＜

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

C^2 というのは、「S で定義された２階連続的微分可能な関数全体」という意味でしょうか？
u(x,t)∈S というのは、意味不明ですが、u(x,t)∈C^2 の意味と解釈してよいでしょうか？
Δ というのは、ラプラシアンのことでしょうか？

もし、そうなら、次のようなストーリーでどうでしょうか。

**********************

条件式の両辺をτ2で微分する。左辺については、外側の積分記号が外れる。右辺第１項については、積分記号内の微分が可能である。右辺第２項は、τ2に依存しないので、0になる。次の式を得る。

∫{u(x, τ2)・∂φ/∂t(x, τ2)+u(x, τ2)・Δφ(x, τ2)}dx
　　= ∫(∂u/∂t(x,τ2)・φ(x,τ2) + u(x,τ2)・∂φ/∂t(x,τ2))dx

一般論として、この等式は、ほとんどいたるところのτ2で成立するだけであるが、この場合は、両辺ともにτ2の連続関数なので、両辺は厳密に等しい。

式を見やすくするため、τ2を t に書き換える。

∫{u(x, t)・∂φ/∂t(x, t)+u(x, t)・Δφ(x, t)}dx
　　= ∫(∂u/∂t(x,t)・φ(x,t) + u(x,t)・∂φ/∂t(x,t))dx

上の式で、「左辺の不定積分＝右辺の不定積分」だから、積分記号内の関数は、ほとんどいたるところ等しい。ところが、左辺、右辺ともに積分記号内の関数が連続だから、これらは、関数として厳密に一致する。よって、次の式を得る。

u(x, t)・∂φ/∂t(x, t)+u(x, t)・Δφ(x, t)
　　= ∂u/∂t(x,t)・φ(x,t) + u(x,t)・∂φ/∂t(x,t)

同類項を整理して、次のようになる。

[1] u(x, t)・Δφ(x, t) = ∂u/∂t(x,t)・φ(x,t)

φ(x, t) が任意だから、局所的に Δφ(x, t) = φ(x,t) ≠ 0 を満たすようにφ(x, t) を取れる。例えば、φ(x,t) = e^t とするなど。周辺を上手に繋いでコンパクトな台を持つようにするのは、簡単。そこで、両辺を Δφ(x, t) あるいは φ(x,t) で割って、次の式を得る。

u(x, t) = ∂u/∂t(x,t)

u が２階微分可能だから、両辺をさらに t で微分できて、

∂u/∂t(x, t) = ∂^2u/∂t^2(x,t)

を得る。

**********************

で、めでたし、と言いたいところですが、実は、任意のφに対して [1] 式を満たす u は、恒等的に u(x, t) = 0 でなければなりません（Δφ(x0, t0) ≠ 0、φ(x0,t0) = 0 となるφを、任意のx0, t0 において構成できる。局所的にφ(x, t) = (t - t0)^2 とするなど）。

お礼

大変遅くなりましたがとても役に立ちました。
ありがとうございます＞＜