方程式

質問

sinα＋cosα=sinαcosαのとき、sinα＋cosαの値を求める問題で

sinα=X、cosα=Yとおくと
(x＾2)＋(y＾2)=1
x＋y＝ｘｙ
x＋y=ｔtookuto
(t＾2)-2t-1=0
t=1±√2
から

○ココでX＋Y=ｔ、ＸＹ＝tと置くのが分かりません。
○解と係数の関係を考えたのですが
(u＾2)-tu＋t=0となりません。

回答No.9

zk43

x＋y＝√2sin(α＋π/4)
の両辺に絶対値をつけて、
|x＋y|＝√2|sin(α＋π/4)|
（以前≦で書きましたが、＝でよいです）
これはお分かり？
√2は正なので、|√2|＝√2です。
また、一般に２つの数xとyについて、|xy|＝|x|×|y|が成り立つのも
大丈夫？
また、αがどんな値をとっても|sin(α＋π/4)|は１以下なのはわかりますね。
なので、
|x＋y|＝√2|sin(α＋π/4)|≦√2×1＝√2

x+y＝1+√2または、1-√2でしたが、
|1+√2|＞√2、|1-√2|＜√2
なので、x+y＝1-√2のほうが条件を満たし、
x+y＝1-√2

>>1＋√2は絶対値が1より大きく、1－√2は絶対値が0.4142…
で1より小さいので、x＋y＝1－√2
と書いたのは、
>>1＋√2は絶対値が√2より大きく、1－√2は絶対値が0.4142…
で√2より小さいので、x＋y＝1－√2
と書いたほうがよかったですね。（あまり集中してやってるわけでは
ないので、ほかにも打ち間違いがあるかも知れません・・・）

加法定理を使えば
sinα－cosα＝√2sin(α-π/4)
cosα－sinα＝√2cos(α+π/4)
などとあらわされますが、sin(4/π)＝cos(π/4)なので、
違うあらわしかたもあります。

お見受けするところ、あまり慣れていないようなので、
三角関数の問題をたくさんやって、感覚をつかまれることを
お勧めします。
公式をある程度暗記するのも大事ですが、何回も何回も公式を
導き出す練習をやって、忘れてもすぐ導けるくらいにしておくことです。
たいがいは、(sinα)^2＋(cosα)^2＝１や加法定理からどんな公式も
ひねり出すことができます。

補足

ご連絡が遅くなってすいません。
最後に、
x＋y|＝√2|sin(α＋π/4)|≦√2×1＝√2
の
≦√2×1＝√2
について教えてください。
|sin(α＋π/4)|は１以下についてはわかります。
sinの範囲は-1≦x≦1なので1以下。
これが納得したら三角関数について勉強したいとおもっています。

回答No.8

zk43

なんか、すっきりしないようなので、私もちょっと
書いてみます。

sinα＝x、cosα＝yとおくと、
x＋y＝xy・・・(1)
また、
(x^2)＋(y^2)＝1・・・(2)
の関係もあります。

(1)の両辺を２乗すると、
(x＋y)^2＝(xy)^2
(x^2)＋2xy＋(y^2)＝(xy)^2
ここで、(2)を使うと、
1＋2xy＝(xy)^2
（(2)を利用したいので、２乗を考えた）
見やすくするために、xy=tとおくと、
1＋2t＝t^2
(t^2)－2t－1＝0
これは簡単に解けると思いますが、
t＝1±√2、すなわちxy＝1±√2
また、(1)からxy＝x＋yとしているので、
x＋y＝1±√2

ここで、±のどっちを取るかですが、加法定理によって、
x＋y＝sinα＋cosα＝√2{(1/√2)sinα＋(1/√2)cosα}
＝√2{cos(π/4)・sinα＋sin(π/4)・cosα}
＝√2sin(α＋π/4)
より、
|x＋y｜≦|√2sin(α＋π/4)|≦√2|sin(α＋π/4)|≦√2

1＋√2は絶対値が1より大きく、1－√2は絶対値が0.4142…
で1より小さいので、x＋y＝1－√2

sinα＋cosαを加法定理で√2sin(α＋π/4)にするのは結構有名です。

ちなみに、
「cosα－sinα＝sinαcosαのとき、cosα－sinαの値を求める」
を考えてみたらどうでしょう？
今度はcosの加法定理を利用することになると思います。

（まだ、すっきりしない？それとも解決済み？）

補足

ご連絡が遅くなってすいません。
丁寧な解説ありがとうございます。
お聞きしたい事があるのですが、
>|x＋y｜≦|√2sin(α＋π/4)|≦√2|sin(α＋π/4)|≦√2
についてよく分からないので1＋√2は絶対値が1より大きく、1－√2は絶対値が0.4142…について理解できません。
で1より小さいので、x＋y＝1－√2
sinα-cosαは
加法定理より√2sin(α-π/4)
cosα－sinαは
cos（α-β)=cosαcosβ＋sinαsinβより
√3(α＋π/4)ですか？

回答No.7

lick6

-1 ≦ sinθ ≦ 1
ですから α に範囲が無いのであれば 2α だろうが「sin」の範囲はこのままです。
α に範囲があるのなら単位円を書けばわかりやすいと思います。

回答No.6

lick6

sin の倍角の公式を使えば sinαcosα の範囲は出せますよ。

補足

解説ありがとうございます。
2倍角の公式から
sin2α=2sinαcosα
sinαcosα=(1/2)sin２α
からどのように範囲を求めるのか分かりません。

回答No.5

poosan0011

sinα＋cosαの値を求めるということはsinαcosαの値を求めればよい訳です。与式の両辺を２乗すればsinαcosαの２次方程式になりますから、置き換えなくても解けます。
それから最後に解の吟味が必要です。sinαcosαの値の範囲は？

補足

sinαcosαの値の範囲はどのように求めるのかわかりません。
sinxは　-1≦x≦1
cosxも -1≦x≦1

回答No.4

killer_7

#2,3への補足への回答

x+y=t,xy=tを満たす実数x,yが存在するような
実数tの範囲を調べているのです．
そのためには，解と係数の関係から，
uについての2次方程式
u^2-tu+t=0
が実数解をもつことが必要十分です．

補足

u^2-tu+t=0のおき方を教えてくれませんか？

回答No.3

age_momo

○ココでX＋Y=ｔ、ＸＹ＝tと置くのが分かりません。

今、問題が聞いているのはX(つまりsinα)でもY(つまりcosα)でもありません。
X+Y(つまりsinα+cosα)です。これを変数に置いてしまうことでsinα、cosαの
個別の値を出さなくても問題が解けます。私にはむしろそれぞれをX、Yと置く
必要性が分かりません。その先は他の回答者さんも書いておられますが

t=sinα+cosα(=sinαcosα)

両辺を2乗して

t^2=(sinα)^2+(cosα)^2+2sinαcosα=1+2t　(∵sinαcosα=t)
t^2-t-1=0

よって

ｔ=sinα+cosα=1±√2

補足

(t＾2)-4t≧0より
t≦0またはt≧4
t=1-√2
を求める為に
(U＾2)-tu＋t=0
を求めたいたいのですが、必要はないですか？

回答No.2

proto

sinα+cosα = sinαcosα = t
と置くと
　　t^2 = (sinα+cosα)^2 = (sinα)^2 + (cosα)^2 + 2sinαcosα

(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1
sinαcosα = t　と先ほど置いたので、上の式の右辺は
　　t^2 = 1+2t
よって
　　t^2-2t-1 = 0

補足

(u＾2)-tu＋t=0がどのように出るのかが分からないので教えて頂けませんか？

回答No.1

killer_7

解と係数の関係というよりは，
x^2+y^2=1
から，
(x+y)^2-2xy=1
であって，いまx+y=xyだから，これをtとすると（x+y=xy=tとすると）
2次方程式
t^2-2t=1
を解けばよい，ということでしょう．