臨界減衰における特性方程式の解

質問

(d2x/dt2)+6(dx/dt)+9x=0・・・(1)
のxの解を求めたです。
x=e^(at)
とおき、(1)を
a^2+6a+9=0・・・(2)
の特性方程式に書き換え
a=-3 の重解が得られました。
よってx1=e^(-3t)となります。（ここまでは分かります）
また、もう一つのxの解、
x2=te^(-3t) があり（←ここが分かりません）
x1,x2は互いに独立であるためxをx1,x2で表わしてxを初期条件から求める解法が参考書に書いてあるのですが、
何故、もう一つのx2が
x2=te^(-3t)　
となるかが分かりません。
どなたか、詳しく教えてください。
よろしくお願い致します。

回答No.1

stead2009 · ベストアンサー

まず二階の微分方程式なので独立な特殊解が二つ必要です。
しかし特性方程式の解が重解なので１個しか出てきません。

そこで、質問のような解をおいてみるとちゃんと解であることがわかります。

重解の場合はこの二つの線形和が一般解になることが知られており、実用的には特性方程式の解が出てきた時点でいきなり答えを書いちゃいます。

なぜかということですが、e^(-3t)*Z(t)とおいて二つ目の解を探したりすると答えが得られます。（微分方程式における技のひとつです）

もう少しだけちゃんとした議論だと、特性方程式が二解を持つ状態の一般解から、λ1とλ2が一致する極限をうまくとることで得られます。

お礼

実際、微分方程式に代入して求めることができました。
e^(-3t)*Z(t)と置けるかどうかがミソだと思いました
ありがとうございました。

回答No.3

ojisan7

こんにちは。

特性方程式の解がa=-3で重解ですよね。そうすると、解は、
A(t)e^(-3t)
という形をしているはずです。この形の最も簡単ものが、
x1=e^(-3t)
です。ここまでは分かったということですね。x2を求めるためには。x2=A(t)e^(-3t)
とおいて、Wronskianを求めます。解が線形独立であるための必要十分条件はwronskianがゼロでないことです。計算してみると、
{A(t)}'≠0
この条件を満たすものであれば何でもいいですが、その中で最も簡単なものが,
A(t)=t
です。線形微分方程式を学習されているんですから、Wronskianについては、既習済みですよね。

それでは。

お礼

実際に代入して計算して納得することができました。
ありがとうございました。

回答No.2

Chaos9HEAd

●物理入門コース 第10巻　 物理のための数学 (岩波書店)
と、その演習問題書の
●物理入門コース　演習　第5巻　例解　物理数学演習
に、詳しく説明が載ってたと思います。

一度、図書館などで調べてみるのも良いかもしれませんよ。

お礼

情報ありがとうございました。
時間があるとき、図書館で調べてみたいと思います。