X^0=1 について

質問

すこしパソコンのことが混じっていますが、メインとなる質問は数学のことですので、最後まで読んでいただきたいと思います。
今日、情報技術の授業で、『2進数から10進数への変換』というものをやりました。
その解き方が、
『1101(2進数)を10進数に変換する方法
　　 1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0
　＝1*8+1*4+0*2+1*1
　＝8+4+1
　＝13　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　』
となったのです。
先生は『0乗というものは、すべて1になるということは知っていますよね。』と言い、そのことを知っている前提で話を始めました。
僕は、中学校のころに、そんなことを習った覚えがありません。
ここでやっと本当の質問なのですが、タイトルにもあるように、『x^0=1』という式は合っているのでしょうか？
それと、何故こういうことになるのかも教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

shinkun0114 · ベストアンサー

x≠0の条件付きですが、それで合っていますよ。

0乗だけを考えるとややこしいので、マイナスの累乗を考えてみましょう。

x^(-n)を置き換えると、

　1
───
　x^n

と分数で表すことができます。

また、

　x^n　
───＝x^(n-m)
　x^m

これもご理解いただけますよね？
0乗ということは、n-mが0、すなわちn=mということです。
したがって、

　x^n　
───＝x^(n-n)＝x^0＝1
　x^n

お礼

アドバイスありがとうございました。
詳しく説明していただいた中でも一番早く答えていただいた、shinkunさんに、20ptをつけさせていただきました。
今後とも、よろしくお願いします。

回答No.16

baihu

なぜ“ｘ＾０＝１”なのかについては、他の方の回答をご覧ください。ここでは少しでも直観的に納得できるように例を挙げてみます。

……
10^3 = 1000
10^2 = 100
10^1 = 10
10^0 = 1
10^(-1) = 0.1
10^(-2) = 0.01
……

……
2^3 = 8
2^2 = 4
2^1 = 2
2^0 = 1
2^(-1) = 0.5
2^(-2) = 0.25
……

このように並べてみると理解しやすいのではないでしょうか。10倍（2倍）あるいは10分の1（2分の1）ずつ変化している様子が分かります。

ａ×ｎという表記は、ａをｎ回足すことと同じですね。
０回足すというのは、何も足さないことで、足して変化のない数とは０です。
ａ＾ｎという表記は、ａをｎ回掛けることと同じですね。
０回掛けるというのは、何も掛けないことで、掛けて変化のない数とは１です。
（少々難しくなりますが、こういう数を“単位元”といい、足し算の単位元は０、掛け算の単位元は１というように表現します）

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.15

tuort_sig

#１１様へ

『定義する』も何も、『定義』できません。不定形ですので。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.14

Chronos198

X^2 * X = X^3
これはOKですよね？Xを掛けると指数が+1されます。

X^2 / X = X^1
これもOKですよね？Xで割ると指数が-1されます。

とすると、
X^1 / X = X^0

つまり、XをXで割ったものがX^0です。
なので、１になります。

ただし、「数字を0で割る事は出来ない」為、
X≠0
である必要があります。

最初はこんな感じで習いました。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.13

aco_michy

＃４，＃８です。

「情報技術」という授業だと、商業か工業高校かもしれませんね。数学も、数学Iぐらいしかやってないかもしれませんね。

数学IIを、全部やると、話がすこし理解できると思います。

色々難しい話が出てきて、よく読むと混乱するかもしれませんが、
x ≠ 0 ならば x^0 = 1
ですから、
２＾０＝１となります。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.12

Tacosan

既にある通り, 「x ≠ 0 ならば」 x^0 = 1 です.
で, 0^0 は定義されません. これを定義するためには lim (x→0, y→0) x^y が一定値に収束しなければならないのですが, この極限が収束しないのは明らかです. 例えば lim (x→0) x^x = 1 ですが, lim (x→+0) x^(1/log x) = e となります.
ただし, 「話の都合上」 0^0 = 1 とすることが多いです. 例えば, x の多項式を
P(x) = Σ a_i x^i
と書くわけですが, このとき 0^0 = 1 としないと P(0) を正しく計算できなくなってしまいます. まあこれは lim (x→0) x^0 = 1 であることを使えばいいんですけど.

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.11

springside

＃９様の勘違いを指摘致します

よく読んで下さい。

「lim(x→0)x^x=1なので、0^0=1となる」とは言っていません。「lim(x→0)x^x=1なので、0^0=1と『定義する』のが自然」と言っています。全く混同していませんよ。

なお0^0の形を「不定形」というのは初めて聞きました。不定形ってのは、

　lim(x→a){f(x)/g(x)}に関し、これを、
　{lim(x→a)f(x)} / {lim(x→a)f(x)}とすると、
　0/0又は∞/∞の形になる

ことではないのでしょうか。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.10

sanori

ゼロ乗を１にする理由は、元々定義でも法則でもなく、規則性の面で「便利」だからです。
定義だの法則だのは、後付です。

数学史の年表を見ると、必ず、「０（ゼロ）の発見」というのが書かれているはずです。

つまり、整数のゼロでさえ、もともと、数の概念になかったんです。
元々あったのは、指を折ったり、石を並べたりして数えられる「自然数」なんです。
他の数は、全て、自然ではない「不自然数」です（笑）
・・・０も、マイナスも、小数も、分数（有理数）も、指数表現・対数表現も、無理数も、虚数も、複素数も、ベクトルも、行列も、ブール代数も・・・・・全部「不自然数」！？

冒頭で「規則性」と書きましたが、それは、物差しの目盛りや、等差数列と同じ発想です。

こんな感じです。

５、４、３、２、１
１まで来たら、さらに１を引いた数を０と書くことにしよう。
この先、どう書こうか・・・
・・・新しい文字を考えるより、今まで使ってた文字に何か記号をつけちゃって済ませばいいな。じゃー
－１、－２、－３・・・

５の４乗　５の３乗　５の２乗
＝　６２５　１２５　２５
べきが１個ずつ減るごとに５分の１ずつだから、
じゃー
５の１乗　＝　５
さらに５分の１ずつしていって
５の０乗　５の－１乗　５の－２乗
＝　１　０．２　０．０４

１０　２０　３０
それぞれの隙間のど真ん中を埋めてみようか
１０　１５　２０　２５　３０
じゃー
１．０　２．０　３．０
の隙間を埋めれば
１．０　１．５　２．０　２．５　３．０

１　４　１６
＝　４の０乗　４の１乗　４の２乗

じゃー、それぞれの隙間を埋めてみるか

１　２　４　８　１６
＝　４の０乗　４の０．５乗　４の１乗　４の１．５乗　４の２乗

とすれば「便利そう」だな、じゃー
４の０．５乗＝２　って決めちゃえ。

２　＝　４の０．５乗　＝　４の（２分の１）乗
↑
これ知ってれば、表計算の平方根の関数「ＳＱＲＴ」なんか覚える必要ないです。

＜おまけ＞
ゼロが真ん中にある物差しと同様に、
西を＋、東を－と定めれば、

西に時速３キロで２時間歩けば３×２＝＋６キロ（西に６キロ）

西に時速３キロで歩いている人は２時間前は３×（－２）＝－６キロ（現在より６キロ東）にいたであろう。

東に時速３キロで２時間歩けば－３×２＝－６キロ（東へ６キロ）

東に時速３キロで歩いている人は２時間前に
－３×（－２）＝＋６　西に６キロの地点にいた。

ふむふむ、これは便利そうだ。
じゃー、マイナスを２回掛けたらプラスということにしよう。

なお、＃１さんへの返答に書かれている、ゼロのゼロ乗の件は、結構難しい話です。

過去に、ここで質問された方が何人もいらっしゃいますから、

0^0

というキーワードを、上の枠に入れて検索してみてください。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.9

tuort_sig

#５様の間違いを指摘致します

y＝ｘ^ｘ
この極限を求めていらっしゃいますが、それは０＾０＝１となることの説明にはなりません。あくまで関数ｙ＝ｘ^ｘのｘ→０の極限値でしかありません。混同されていらっしゃるようなので。

０^０＝１とは断言できません。０^０の形を難しい言葉で不定形といいます。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
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今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.8

aco_michy

＃４です。

補足しておきます。

x^6÷x^3=x^□

この左辺の計算ですが、

■÷▲＝■／▲の分数の形にしてみて下さい。

すると、分子には、ｘが６個かけ算の形
分母には、ｘが３個かけ算の形
となります。
ｘをひとつずつ約分していくと、

分子には、ｘが３個残り、分子には、１が残るので、

答えは、ｘ＾３となります。

以下の計算も、分数を使って下さい。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
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今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.7

shinkun0114

＞その（ｘ≠０）というものは、どういった意味なのでしょうか？

「≠」この記号は、「＝」に取り消しの線が入ってますよね？
つまり「イコールではない」「等しくない」という意味です。
ｘ≠０は、「xが０ではないとき」を意味します。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。