X^0=1 について

質問

すこしパソコンのことが混じっていますが、メインとなる質問は数学のことですので、最後まで読んでいただきたいと思います。
今日、情報技術の授業で、『2進数から10進数への変換』というものをやりました。
その解き方が、
『1101(2進数)を10進数に変換する方法
　　 1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0
　＝1*8+1*4+0*2+1*1
　＝8+4+1
　＝13　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　』
となったのです。
先生は『0乗というものは、すべて1になるということは知っていますよね。』と言い、そのことを知っている前提で話を始めました。
僕は、中学校のころに、そんなことを習った覚えがありません。
ここでやっと本当の質問なのですが、タイトルにもあるように、『x^0=1』という式は合っているのでしょうか？
それと、何故こういうことになるのかも教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

shinkun0114 · ベストアンサー

x≠0の条件付きですが、それで合っていますよ。

0乗だけを考えるとややこしいので、マイナスの累乗を考えてみましょう。

x^(-n)を置き換えると、

　1
───
　x^n

と分数で表すことができます。

また、

　x^n　
───＝x^(n-m)
　x^m

これもご理解いただけますよね？
0乗ということは、n-mが0、すなわちn=mということです。
したがって、

　x^n　
───＝x^(n-n)＝x^0＝1
　x^n

お礼

アドバイスありがとうございました。
詳しく説明していただいた中でも一番早く答えていただいた、shinkunさんに、20ptをつけさせていただきました。
今後とも、よろしくお願いします。

回答No.6

springside

No.5です。訂正です。

分母が0か否か不明なので
　　　　↓
分母が0なので

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.5

springside

以下、話を実数に限定します（複素数まで広げると話がややこしくなりそうなので）。

x≠0のとき、x^0=1ですが、これそのものは定義ではなく、指数法則から導かれる結果です。

すなわち、
　x≠0のとき、
　　x^0 = x^(y-y)　（yは0以外の任意の実数）
　　　　= (x^y) / (x^y)　　←※１
　　　　= 1
ということです。

次に、x=0のとき、「0^0はどうなるか？」ですが、これを、上記※１のように示すのは無理でしょう（分母が0か否か不明なので）。
というわけで、別の方法で考えるのですが、
　lim(x→0)x^x = 1　　←※２
なので、0^0=1と定義するのが自然でしょう。

※２の証明は、y=x^xとおくと、log(y)=xlog(x)となり、x→0のときxlog(x)→0［←ロピタルの定理を使えば示せる］なので、log(y)→0ですから、y→1となります。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.4

aco_michy

x^6÷x^3=x^□（x≠0以下同じ）

□に当てはまる数が分かりますか？
答えは、３ですね。つまり割り算は、指数の引き算と考えられます。
すると
x^6÷x^4=x^△

△には、６－４で２が入ります。
以下

x^6÷x^5=x^◎
引き算ですから◎は、１です。
しかし、元の割り算を考えて下さい。
答えは、xでしょ。

ですから、x^1=xと決めます。

では、
x^6÷x^6=x^◇
は？
引き算ですから、6-6=0
となります。ところが、左辺を見ると、結果は１ではないですか？

ですから、x^0=1

と、考えることが出来ます。
このように考えていくと、＃３の方が示しているようなマイナスの指数も考えていくことが出来ます。

もっと拡張すると、分数乗や、小数乗があるのですが、もう少し勉強が進んでからにしましょう。

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.3

konagoo

x^3　→　x*x*x
x^2　→　x*x
x^1　→　x
x^0　→　x/x
x^-1　→　1/x
x^-2　→　1/（x*x）
x^-2　→　1/（x*x*x）

お礼

アドバイスありがとうございました。
皆様のおかげで、X^0=1の意味を理解することができました。
皆様には本当に感謝しております。
今回は、ポイントをつけることが出来ませんでしたが、今後も、いろいろな質問に答えつづけてください。
皆様へのお礼の言葉が同じと言うことを、お許しください。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.1

tuort_sig

厳密にはｘ^０＝１（ｘ≠０）です。

なぜｘ^０＝１になるかは簡単に言ってしまうと、そう定義しているからです。こう定義すると色々と都合が良いからです。

お礼

アドバイスありがとうございました。
困り度1の質問に、即答していただき、その後もいろいろと補足していただいたtuort_sigさんに、10ptをつけさせていただきました。
今後も、よろしくお願いします。

補足

その（ｘ≠０）というものは、どういった意味なのでしょうか？