２階定係数線形非斉次微分方程式（未定係数法）

質問

特殊解の型の求め方を教えてください。何か法則があるのでしょうか？
つまり、微分方程式y''+ay'+by=g(x)のg(x)に応じて未定係数法では予め特殊解の”型”が数パターン定まってますよね？この型のパターンは、どうやって導いているのですか？それとも、パターンだと割り切って暗記するしかないのでしょうか？何か導出方法があると思うのですが。（というか確実にあるはず）
教えてください。

回答No.1

take008 · ベストアンサー

下記ＵＲＬの第19，20回が参考になるのでは？

参考URL：

http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/4KHouteishiki/

補足

ありがとうございます。URL拝見させて頂きました。
私が知りたいのは、URLの第20回の最初のページにまとめてあるパターンの表の導き方です。あのパターン（型）はどうやって求めるとよいのかわかりません。公式だとしても、導き方があるはずですよね？いきなり誰かが思いついたわけではなく。

回答No.8

take008

f(x) =∫e^x sinx dx の場合
f(x) =∫e^x (-cos x)' dx
= e^x(-cos x)-∫(e^x)'(-cos x) dx
= -e^x cos x +∫e^x cos x dx
= -e^x cos x +∫e^x (sin x)' dx
= -e^x cos x + e^x sin x - ∫(e^x)'sin x dx
= e^x(sin x -cos x) - ∫e^x sin x dx
= e^x(sin x -cos x) - f(x)
2f(x)= e^x(sin x-cos x)
f(x) = e^x/2 (sin x-cos x)

これと同様のやり方です（わずらわしいのて xe^xsin x の場合を示します）
F(x) = ∫xe^x sin x dx
= ∫xe^x(-cos x)' dx
= xe^x(-cos x) - ∫(xe^x)'(-cos x) dx
= -xe^x cos x + ∫(1+x)e^x cos x dx
= -xe^x cos x + ∫(1+x)e^x(sin x)'dx
= -xe^x cos x + (1+x)e^x sin x - ∫{(1+x)e^x}'sin x dx
= e^x(-x cos x + (1+x)sin x) - ∫(2+x)e^x sin x dx
= e^x(-x cos x + (1+x)sin x) - 2∫e^x sin x dx - ∫xe^{-x}sin x dx
= e^x(-x cos x + (1+x)sin x - sin x + cos x) - F(x)
F(x) = e^x/2 (-x cos x + (1+x)sin x - sin x + cos x)

> （１－ｘ）などが出てくるし、ややこしい形が増えるばかりで困ってます。
そんなことは，当然です。簡単にできるのだったら，わざわざ未定係数法をやりません。

訂正
> 一般に ∫xe^{-x} r(x) dx を u=xe^{-x} v'=r(x) とおいて部分積分することにより 第19回の一番目の公式になります。

u=x v'=e^{-x}r(x) でした。

お礼

回答ありがとうございます。なるほど～。力づくで部分積分するんですね！ど根性ですね。グダグダ言ってないでやってみます！・・・というか、未定係数法に慣れるべきですよね。定数変化法での大変な回答をワガママで教えてもらって、ありがとうございました。微分方程式って、計算イライラしますよね。

回答No.7

take008

> xe^{-x}sin2xの原始関数は求められませんよね。

やはりそこで躓いていたのですね。
原始関数を F(x) とおいて，u=xe^{-x} v'=sin2x で部分積分し，さらに，u=xe^{-x} v'=cos2x で部分積分すると，右辺が F(x) を含む式になります。
右辺の F(x) を左辺に移項して整理すれば F(x) が求まります。

しかし，一般に ∫xe^{-x} r(x) dx を u=xe^{-x} v'=r(x) とおいて部分積分することにより 第19回の一番目の公式になります。

補足

>原始関数を F(x) とおいて，u=xe^{-x} v'=sin2x で部分積分し，さらに，u=xe^{-x} v'=cos2x で部分積分すると，右辺が F(x) を含む式になります。

この部分を詳しく教えて頂けないでしょうか。強引に部分積分をすると（１－ｘ）などが出てくるし、ややこしい形が増えるばかりで困ってます。

回答No.6

take008

> y''－２y'＋y＝sin２x
> この一般解を定数変化法で求めようとすると、おかしなことになって解けなくなります。

おかしなことを具体的に示してもらうと，もっとよいアドバイスができると思いますが。
ひょっとして，∫xe^{-x}sin2x dx の計算で躓いているだけのことではありませんか。

お礼

xe^{-x}sin2xの原始関数は求められませんよね。それが求まると解決するんですけどね。
一般に、定数変化法は解の公式みたいなもので、どんな微分方程式の一般解も求められるみたいですが、原始関数が求まらない状況（初等関数での表現が不可能）が多々あります。今回の例示もその一例です。

こういう場合の為に未定係数法は欠かせないだろうと思い、今回の質問で特殊解のパターンの導出方法を尋ねたのです。

回答No.5

take008

「定数変化法」で検索するとよいでしょう。

お礼

アドバイスありがとうございます。

定数変化法は知ってますが、それで解けない問題があるんです。
例えば
y''－２y'＋y＝sin２x
この一般解を定数変化法で求めようとすると、おかしなことになって解けなくなります。未定係数法でしか解けないらしく。

回答No.4

take008

> 私が知りたいのは、URLの第20回の最初のページにま とめてあるパターンの表の導き方です。あのパターン（型）はどうやって求めるとよいのかわかりません。公式だとしても、導き方があるはずですよね？いきなり誰かが思いついたわけではなく

第19回に一般論が書いてありますね。
その公式を用いて，特別なパターンの解を求めたものが第20回の公式です。

お礼

アドバイスありがとうございます。

第19回の一般論に書いてあることが、抽象的すぎてよく理解できません。どなたか噛み砕いて教えてもらえないでしょうか？

回答No.3

rabbit_cat

未定係数法についても、元は＃２のようにして求めたものなのでしょう。
ただ、実際には、このまま暗記してしまえばよいです。そんなに大変じゃないので。

y''+ay'+by = g(x)
だったら、まずは、
A*g(x)
を入れてみます。で、うまくg(x)がでるようにAを決めます。
ですが、g(x)が、exp(αx)を含む場合だと、肝心の項が消えてしまって係数が求まりません。その場合は、xをかけて、(A+B*x)*g(x)を入れてみればよいです。
それでも、消えてしまったら、C*x^2*g(x)の項を追加します。

お礼

アドバイスありがとうございます。

う～ん、確かに暗記してしまえば問題なく解けるようになるんですけどね。なにしろ微分方程式は覚えることが膨大だから、負担を軽減しようと思うんです。例えば三角関数の倍角公式は、覚えなくても、加法定理から自分で導けるようにしておいたほうが負担軽減に繫がりますし、暗記より理論を理解しているような気がするし・・・

補足

下のお礼の『繫がり』は『つながり』の文字化けでした。

回答No.2

rabbit_cat

まず、
t^2+at+b
は、
α=(-a+√a^2-4ab)/2 ，β=(-a-√a^2-4ab)/2
として、
(t-α)(t-β)
と因数分解できます。

で、
y''+ay''+by=g(x)
ですが、
z=y'-βy
と変数変換すれば、
z'-αz = g(x)
と１階定数係数線形微分方程式になります。
これが
z=z(x)
と解けたとすれば、再び、１階定数係数線形微分方程式
y'-βy = z(x)
を解けばy(x)が求まります。

ちなみに
１階定数係数線形微分方程式
y' + ay = Q(x)
の解は、
y = exp(-ax){∫Q(x)exp(ax)dx + C}
です。

お礼

アドバイスありがとうございます。

>z=y'-βy
と変数変換すれば、

どのようにして、z=y'-βyと思いつくのですか？