2階同時線形微分方程式について質問させて下さい。

質問

y"(x)+ay'(x)+by(x)=0
なる2階同時線形微分方程式には、
2個の線形独立な解が存在する。
但し、aおよびbは定数であり、
y(x)はxの関数である。

上記の定理の証明について教えてください。
よろしくお願いいたします！

回答No.3

grothendieck

常微分方程式の初期値問題はリプシッツ条件を満たしていれば一意な解が存在することは常識であり、教養のテキストにも書いてあると思いますが...もちろん、"常識"を書いただけではレポートにはなりません。常識を超える事をどう書くか？「リプシッツ条件は一意な解が存在する十分条件であるが、必要十分条件は何なのか？」－これは多くの人が抱く疑問ではないでしょうか。これが書いてある本となると、ぐっと少なくなります。
　岡村博「微分方程式序説」
常識を超えることとしては、例えばこのようなことも考えられるでしょう。

参考URL：

http://mathsoc.jp/publication/tushin/1202/ikawa12-2.pdf

お礼

お礼が大変遅れて申し訳ありません。
お教えいただいた本はまさに私が疑問としていた点に合致していました。
頑張って勉強しているところです。
有難うございました。

回答No.2

Willyt

>さらに他の解は存在しないということがわかれば、ありがたいのですが、そこについてもぜひ教えていただけないでしょうか。

　つまり十分条件ではあるが必要条件に触れていないぞということですよね。

　鋭い質問です。これだけの補足が書けるのは大したことです。少なくとも教養課程の数学のテキストにはこれに応えられる回答は載っていません。つまりこれを証明するには大学教養課程の程度を越えるということであり、工学者である私にも残念ながら応えることができません。工学では解が見つかることで問題は解決だからです(^_^;)　他に解があり得るかどうかは問題にならないのです。

この問題の出題者はそこまで要求していない筈というのが私の回答です。逃げのようになりますが、これが私の能力の限界です(^_^;)

お礼

お礼が大変遅くなって申し訳ありません。
参考になりました。
更に考えて見ます、有難うございました。

回答No.1

Willyt

この形の微分方程式は　ｙ＝exp(λx)　と置くことによって解けます。これを原式に代入すると

λ^2+aλ+b=0

となります。　そうするとλは二つの根を持ちますから解は二つあることになりますね。但し　a^2=4b のときは重根になりますが、この場合は y=x・exp(λx) も解になります。代入して試して見て下さい。

判別式が負の場合はλが複素数になりますが、解がないというわけではありません。

お礼

申し訳ありません、
初めて教えて！gooを使うもので
質問者が書くべき欄と回答者に書いていただく欄を間違えてしまいました。

お礼と追加の質問はこちらから書くべきだったのですね。

補足

とても参考になりました。
a,b(λ)が計算され、解exp(ax),exp(bx)が得られることがわかりましたが、
さらに他の解は存在しないということがわかれば、ありがたいのですが、
そこについてもぜひ教えていただけないでしょうか。