2階変数係数線形微分方程式

質問

(x^2)*y"-3xy'+5y=4/x　　　
この問題はオイラー型の2階変数係数線形微分方程式というようです。
この問題の解法を教えてください。お願いします。
とりあえず左辺=0と置いたときの一般解として
　　y=(x^2)*{A*cos(log x)+B*sin(log x)} (A,Bは任意定数）
までは出したのですが、特殊解の求め方が分かりません。

回答No.2

I-love-manabee · ベストアンサー

(x^2)*y"-3xy'+5y=4/x---------------（ⅰ）
式（ⅰ）は
(x^2)(d^2y/dx^2)-3x(dy/dt)+5y=4/x---------------(ⅱ)
だから
ここで
d/dt=D,e^t=xとおけば
d^2y/dx^2=(d/dx)(dy/dx)
=(d/dt)(dt/dx)y(d/dt)(dt/dx)
=yD(D-1)e^(-2t)
dy/dt=y(d/dt)(dt/dx)
=yDe^(-t)
（(2)）式を書き直すと
{D(D-1)y-3D+5}y=4e^(-t)
(D^2-4d+5)y=4e^(-t)------------(ⅲ)
基本解を求めるために右辺を0とおくと
ζ(λ)=λ^2-4λ+5=0
λ=2±i
よって基本解λ=2±i
これから余関数を求めると
Y=e^(2t)(e^(2±1i))
=x^2{(C1cost+C2sint)+(C3cost-C4sint)}
=x^2{(C1+C2)cost+(C3+C4)sint}
C1+C2=A,C3+C4=Bとおけば
Y=x^2(Acost+Bsint)---------*
ここでe^t=x より　logx=t
Y=x^2(Acoslogx+Bsinlogx)

また＊で発展して
Y＝{√(A^2+B^2)}(sint+α)
√(A^2+B^2)=C
Y=C(sinlogx+α)
と書く方法もあります．

特解の求め方ですが
ξ(D)φ=4e^(-t)
　　　=4e^(-t)/ξ(D)
ここでe^(-t)のtの係数(-1)をDに代入すると
　　　=4e^(-t)/ξ(-1)
　　　=4e^(-t)/((-1)^2-4(-1)+5))
　　　=4e^(-t)/10
　　　=2/5x
よって
ｙ=Y+φ=x^2(Acoslogx+Bsinlogx)+2/5x
もしくは
ｙ=C(sinlogx+α)+2/5x

お礼

丁寧に解説していただいてありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.1

siegmund

式の形を見て
(1)　　y = c/x
の形が特解になりそうだな，という見当がつきます．
左辺の３項とも，(1/x)の定数倍の形になりますから．

あとは右辺と合うように c を決めればＯＫですので，お任せします．