Sin[x]/xについて

質問

こんにちは。Sin[x]/xについての質問です。
まずは、この極限、（x->０のとき）が、１になるのは解るのですが、もし無限大とした場合、｜Sin[x]/x｜＜１になるかと思います。これを証明するにはどうやって進めていったらいいのでしょうか？
それと、Sin[x]<xは、ｘ＞０の時成り立つのでしょうか？これも、どうやって証明したらいいでしょうか？ご教授ください。

回答No.3

springside · ベストアンサー

x→∞のときの状況は、x→0のときの状況よりも簡単です。

xの値にかかわらず、-1≦sin[x]≦1なので、

　sin[x]/x ≦ 1/x

である。よって、x→∞のとき、sin[x]/x→0

また、sin[x]<xの証明は、f(x)=x-sin[x]とおくとf'(x)=1-cos[x]≧0なのでf(x)は増加関数であり、f(0)=0なので、x>0のときf(x)>0であることから明らかです。

お礼

大変参考になりました。有難うございます。

回答No.2

rangeru

はさみうちの定理でいけると思います。

　　　　　-1≦sinx≦1
なので、これをxで割って、
　　　　-1/x≦sin(x)/x≦-1/x
これをx→∞に持っていくと
　　　　　　-1/x→0
　　　　　　-1/x→0
なのでsin(x)/x→0
になります。

また、sin(x)＜xはx＞0のとき常に成り立つはずです。ちゃんとした説明ではないでしょうが関数f(x)=sin(x)/x
の最大値が1なので。そんなグラフを見たことがあると思います。。

ちなみにExcelで少し計算してもこの結果になりました。

お礼

有難うございます。

回答No.1

tadys

上のほうの検索ＢＯＸで “sin(x)/x”を検索してください。

お礼

有難うございます。しかしながら、検索しましたが全てが、x->0の場合のものばかりで、私の質問の内容とは違うものですので、引き続きアドバイスをいただけましたらお願いします。