【問題】∫[0～π/2]((sin(x))^2)/(sin(x)+co

質問

【問題】∫[0～π/2]((sin(x))^2)/(sin(x)+cos(x))dxのやり方を教えてください。
x=π/2-θとおいてやってみたのですが…できません＾＾；
どなたかよろしくお願いします。。。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

I=∫[0～π/2]((sin(x))^2)/(sin(x)+cos(x))dx
=∫[0～π/2]((sin(x))^2)/(√2・sin(x+π/4))dx

　t=x+π/4とおくと、
=∫[π/4～3π/4]((sin(t-π/4))^2)/(√2・sin(t))dt
=∫[π/4～3π/4]((sin(t)-cos(t))^2/2)/(√2・sin(t))dt
=∫[π/4～3π/4](sin^2(t)+2sin(t)cos(t)+cos^2(t))/2)/(√2・sin(t))dt
=1/(2√2)・∫[π/4～3π/4](1/sin(t)+2cos(t))dt

ここで、∫1/sinX dx = 1/2 log|(cosX - 1)/(cosX + 1)| + C　（※※）

よって、
I=1/(2√2)・log((√2+1)/(√2-1))　（かな・・・）

（※※）は、下記URLを参照ください。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1435863019

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.2

info22_

数式処理ソフトで積分すると
I=(1/√2)tanh^(-1) (1/√2)≒0.6232252401
となりました。

これは変形すると
#1さんの積分結果の式に一致します。

お礼

ありがとうございました＾＾ｗ