lim sin(x)/x について

質問

少し前に質問がありましたし、過去の議論もあるようですが、私が納得できていないので質問としたいと思います。興味のある方は付き合ってください。質問はsin関数の微分を導出する基礎的な関係式

lim{x->0}sin(x)/x=1

スタート地点はこの式を証明した後にsinの微分を求めることを念頭においています。逆のロジックは受け付けません。

それで結局私がいきついたのは円周と外接円の議論ですが、それは積分法を認めると自明だとおもうのです。弧の長さを積分で書けば

∫dx√[1+(dy/dx)^2]　－－－（１）

となり、ここで微分dy/dxが出てきますが、ここで傾きdy/dxは円の形から外接円の接線より常に小さくなります。（図がなくてすみません。）よって微分が分らないけど、弧の長さは外接円で抑えられると思います。
数学的には円のグラフの単調減少性という言葉になると思います。

それでsinの微分は分らないけど、これで外接多角形の円周がながくなるというのはこれで証明されるといってはいけないんでしょうか？何か見落としがあるんでしょうか？

外接多角形の方が円周が長いことが証明できるなら、問題の極限は

sin(x)≦x≦sin(x)+[1-cos(x)]　　－－－（２）

をつかってハサミうちすればよいと思います。このハサミうちは直感的には分りやすいので高校レベルの証明ならこれで問題ないと思いますがどうでしょう？

質問は外接多角形の円周のほうが長いのは（１）と円のグラフの単調減少から示されるかどうか。（２）のハサミうちに落とし穴があるのかどうかの２点です。

回答No.5

rabbit_cat · ベストアンサー

図は見られませんが、おそらく、言わんとしていることは合っているのだと思います。

要点は、
・曲線の長さが、曲線上の任意の点を結んだ折れ線の長さの上限で定義される。
・円周上の任意の点を結んだ折れ線の長さ＜外接多角形
は三平方の定理を使って示せる。（ただし、かなりやっかいだと思う。）
てことかと。

お礼

イワンとしていることを的確に指摘してくださって有難うございます。そうですね色々と考えた結果,積分で定義された曲線の長さも、三平方の定理に基づいているので問題の解決になりませんね。少なくとも単純な幾何学的考察だけではだめそうです。そもそも微小距離の定義が直線に基づいている以上外接多角形の長さよりも円周が短くなる（またはイコール）は当然なのですね。私自身は納得しました。

答えを知っている専門家や良いアイディアがある人の解答を期待してしばらく質問を締め切らず置いておきます。が、ラビットさんの指摘で私自身は当面の決着となりそうな予感です。

回答No.4

rabbit_cat

一応、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355
の＃１２さんみたいな方針なんでしょうか。
これだと、
　円周 ≦ 外接多角形
なので、
　円周 ＜ 外接多角形
をいうには、ある外接多角形よりも周長がより短い（別の）外接多角形が存在するということを言う必要があります。

お礼

書き込み有難うございます。
ところではさみうちは等号がついちゃいけないんですか？私はいつも等号つきで証明につかってました。

＃１さんに積分じゃ証明できないと言われたんですが、私は証明できるような気がしてるんです。
時間と興味のある方は図をみてコメントお願いします。円周を囲む多角形を図のようにとって弧ABC間の距離を考えます。その他の部分は同じですから考えません。それで距離の積分をすると、円の方が傾き常に小さいですから外を囲む赤い点線の多角形の方が長くなると思います。つまり√(1+(dy/dx)^2)は外のやつが長いのは当然に思えます。もちろん微分の値などは分りませんが。図形的にはこれで良いのではないかと思うのです。

http://proxy.f3.ymdb.yahoofs.jp/bc/43d3a1c0_14762/bc/7daf/pic1.gif?bcrh60DBUZZOcZqJ

回答No.3

rabbit_cat

扇形の面積の公式 S=1/2rlは、
　円周 ＜ 外接多角形
の関係を使ってはさみうちから出てきたきたものなので、面積を使う証明は本当はだめです。
高校の教科書では、面積での証明になっていることがほとんどだとは思いますが、これは循環論法になっているのを承知で、意図的に、「円周 ＜ 外接多角形
」という関係を表に出すのを避けているからです。

回答No.2

age_momo

>図を描くと直感的には当たり前なのでそれ以上いえないような感じです。

例えば∠A=x、∠B=π/2,AB=1の直角三角形ABCとAを中心とした半径1の扇形、
AD=1となる点Dを線分AC上にとった二等辺三角形ABDにおいて

それぞれの面積は
ΔABC=1/2*tanx
扇形ABD=1/2*x
ΔABD=1/2*sinx
より

sinx＜x＜tanx

で挟み込むのは直感的過ぎますか？
(後の処理でx→+0とx→-0に場合わけする必要ありそうですが）
それぞれの線分BC,弧BD,線分BD上の任意の点P,Q,Rにおいて

AP≧PQ≧PR

は容易に証明できますので面積も

ΔABC≧扇形ABD≧ΔABD

だと思うのですが。。。

お礼

上にラビットさんがコメントしてますが、私も面積を使った証明はだめだとおもいます。もちろん高校の授業でそういう説明（≠証明）を使うのは仕方のないことでしょう。細かいことに時間を使うのを気にしないのならageさんの方法でOKです。

面積＝α r^2

長さ＝β　r

と仮定するのは良いでしょう（どちらか一方の定数はπと定義して結構です）。しかしα＝βとするのは証明が必要です。結局同じ問題にきちゃくします。

本来ならこの議論はどこか掲示板でも立ててやるべきだとは思いましたが、ここには既に色々議論があったようで興味のある人が多いと思いました。議論が長くなることを承知で投稿しました。　

解答有難うございました。

回答No.1

nishi_nishi

恐らくn多角形を2n分割して比べているのでしょうが、
その場合始点、終点を定める必要があります。
つまり、確かにdy/dxは円の方が常に小さい(或いは大きい)と取れますが、
始点を揃えた場合終点のxは外接多角形の辺の方が小さく(或いは大きく)なってしまいます。
xの積分範囲は　弧>多角形の辺
傾きは　　　　 円<多角形の辺
であるので、これで外接多角形の周が長くなるとは言えません。
(1)で求められる長さはx,yを直交座標とした場合に限られていますが、積分範囲が異なる場合は結局(1)を実際に積分しなければならず、円の弧を求めるには三角関数の微分積分を知っている必要があります。(勿論長さは2n分の1ですので、積分範囲さえ分かれば長さは積分で求めなくとも自明ですが)。
要は、この方法で結論を出すには他の方法で結論を出してからではないといけません(2重に手間がかかります)。

単にlimitを求めるだけならば、高校の範囲では無いですがsinxの定義から
sinx/x = 1/2{(e^x - 1)/x + (e^(-x)-1)/(-x)}
で、eはe^xの微分が変わらないように定義されているので当然
= 1/2{e^x + e^(-x)}
となるのですが、これはsin,cosを微分の性質から定めているので、sinの微分を知っていることになります(展開を用いる時も同様です)。

(2)は等号が要りません。

お礼

確かに積分領域を良くみるとうまくいかないことがわかりました。有難うございます。（２）の＝は必要ないですね。それでは（２）の上限を決める不等式は三角関数の微分を知る前に証明できないのでしょうか。
図を描くと直感的には当たり前なのでそれ以上いえないような感じです。外接多角形の方が円周長いのは当然じゃんとしか言えなくてこまっています。人間の直感はよく間違いを犯すので「当然」とはいいたくないんですが、私には良い説明がみつかりません。

もちろんサインやコサインを級数で定義すれば何も問題ないんですが、それは後付の方法ですよね。歴史的には三角関数の微分を厳密に導出したのはどういう方法なのでしょう。自分でも調べてみます。