sin1/x^2>-1 大小比較

質問

大学の過去問題で
f(x)=x+x^2sin1/x^2(x≠0)
f(x)=0(x=0)
x=0近傍で増加関数でないことを証明せよ

という問題があるんですが
まったくわかりません
ヒントでx>0の時
1+xsin1/x^2>0
を示せばよい。
とあるんですがこれもまた証明できなくて困ってます
どなたか解ける方教えてください

回答No.2

c_850871 · ベストアンサー

これは・・・少し難しいですね．
コメントを削除されないために，ちょっとしたアドバイスのみで．
1+xsin1/x^2>0をどう使うのかは，すみません，私にも意味不明です．
しかしこれは自明ですよね．-1<sin1/(x^2)<1ですし，x>0の条件もありますので．
こんなヒントなくても解けると思います．

まず，増加関数であることは
f(x)=x+x^2sin1/(x^2)
をどうしたら良かったですか?

次に，近傍といえば，極限ですね．

関数F(x)がx=0で連続でないときもありますね．(今回は連続ですが)
このときのlim(x→0)F(x)はどのようにして求めますか?(結論は極限なしですが，その示し方は?)

これらの方法が分からないと，この問題には手が出ないことになります．
このあたりをもう一度よくお考え下さい．

お礼

回答ありがとうございます

＞まず，増加関数であることは
f(x)=x+x^2sin1/(x^2)
をどうしたら良かったですか?

これはf'(x)>0を示せばいいんでしょうか？
とすると
f'(x)=1+2xsin(1/x^2)-1/xcos(1/x^2)>0
を示すことになると思うんですが
これは・・・・2xsin(1/x^2)-1/xcos(1/x^2)に相加・相乗平均を用いると思うんですができませんでした。違うんでしょうか？

＞関数F(x)がx=0で連続でないときもありますね．(今回は連続ですが)
このときのlim(x→0)F(x)はどのようにして求めますか?

すみませんこれは分からないです
sin(1/x^2)が振動するからでしょうか？

＞1+xsin1/x^2>0をどう使うのか
しかしこれは自明ですよね．-1<sin1/(x^2)<1ですし，x>0の条件もありますので．こんなヒントなくても解けると思います

たしかに自明でした。これは別に考えなくてもよいようです

すみませんがまた
回答お願いします

回答No.4

c_850871

解答には影響はありませんが，

>f'(x)=1+2xsin(1/x^2)-1/xcos(1/x^2)

でなく，

f'(x)=1+2xsin(1/x^2)-2/xcos(1/x^2)

です．

>sin(1/x^2)が振動するからでしょうか？

これがお分かりなのであればもう答えは近くなっています．
結論として
f'(x)>0がx=0
の近傍で成立しないことを示せばよいのですから，あとは左側極限，右側極限(#2の答えです)を考えればよいわけです．
はさみうちの原理を使用します．
これ以上は禁止事項になりかねないのでお教えできません．

それでは頑張ってください．

お礼

どうもありがとうございました
大変参考になりました

頑張ってみたいと思います

回答No.3

c_850871

失礼しました．
4行目は
-1≦sin1/(x^2)≦1
ですね．

回答No.1

c_850871

丸投げのようにもみえますが・・・
まず
f(x)=x+x^2(sin1/x)^2
なのか
f(x)=x+x^2sin1/(x^2)
かがこれではわかりません

補足

すいません
f(x)=x+x^2sin1/(x^2)です