lim(x→0)sin x / x = 1の証明は何の定理を使用するのでしたっけ？

質問

質問通りです。
　lim(x→0)sin x / x = 1の証明は何の定理を使用するのでしたっけ？ふと当たり前のように使っていたのに度忘れしました。

回答No.4

uyama33 · ベストアンサー

これは、よく考えると
難しいです。

１．挟み撃ちで、扇形の面積を求めます。
この扇形の面積を求めるには、
円の面積の式を使います。
円の面積の式　πｒ＾２
を導くには三角関数の微積を使います。

２．ロピタルの定理はもちろん三角関数の
微分を使います。

３．すっきりした形は、
三角関数を無限級数で定義して、
無限級数の微分を考えて、
この無限級数が普通のサインコサインと
一致する事を示す。

４．それには、微分方程式の解の一意性を
使ったりしたのかな？？

高校数学で説明する内容は
かなり適当です。
円の弧の長さも
よく考えると面倒です。

お礼

扇形の面積を使ってしまいましたが、面積による挟み撃ちで「示す」ことに納得はできました。無限級数を使って、証明としても納得できました。ありがとうございました。

回答No.6

rabbit_cat

最終的には、
　内接多角形の周長 ＜ 円周の長さ ＜ 外接多角形の周長
という関係を使うことになります。
実は、この関係を証明することは、けっこうやっかいです。
　内接多角形の周長 ＜ 円周の長さ
は、２点を結ぶ一番短い曲線は直線である、ということを公理とすれば明らかですが、
　円周の長さ ＜ 外接多角形の周長
をしっかり証明することは容易ではないです。
過去質問を検索すると、いくつか、この話が見つかると思います。

ちなみに、扇形の面積の公式 1/2rl というのは、上の関係から出てきているものなので、扇形の面積を使う証明は、結局上の円周と外接多角形の周長を使う証明と同じです。

お礼

ありがとうございました。おっしゃるとおり、「円周の長さ ＜ 外接多角形の周長」で躓きます。「示す」程度で納得するのは比較的容易ですが、証明は難しいですね。No.3の方がおっしゃるように、証明できたつもりが、循環論法に陥ってしまっていることになっているので、やっかいです。
　無限級数が私には、一番すっきりしました。

回答No.5

atomicmolecule

混乱を招くといけないので証明を簡単にかいておきます。

（１）まずsin(x)^2+cos(x)^2=1　は三平方の定理から知っているとします。以下ではsin(x)=s cos(x)=c　と書きます。

（２）下に書いた方法で小さい三角形の高さを求めます。
それは h　=　s　です。これがスタート地点ですね。

（３）下に書いた方法で大きい三角形の高さを求めます。
上で考えた小さい三角形と相似であることに気がついてください。すると大きい△の高さはH =s + [(1-c)s/c]

はさまれた部分の弧の長さはこの二つの三角形で挟み撃ちされます。または挟まれた扇の面積は二つの三角形の面積で挟まれると言っても良いです。

よって h≦x≦Ｈ ですね。

よって s≦x≦s+[(1-c)s/c]です。

1≦x/s≦1+[(1-c)/c]

cos(x)=1をとればx/s=1です。あれ記憶違いでした、ろぴたるは使わなくても答えでますね。すみません。

お礼

ありがとうございました。面積による挟み撃ちは理解できるんですが、辺と弧を使う場合、「h≦x≦Ｈ」 の「x≦Ｈ」の部分が私には自明ではありません。

回答No.3

atomicmolecule

＃1さんも＃２さんもどちらも正しいと思われます。私がしっている証明では両方使います。

因みにこれってsin(x)の微分がcos(x)だという事は知らない段階での話ですよね？　dsin(x)/dx=cos(x)を使うと循環論法になりますから注意してください。つまりサインの微分がコサインだというのはlim(x->0) sin(x)/x=1　を使って導ちびかれた結果です。私がならった教科書ではそうだったと思います。

証明は、単位円で三角形（通常のsin,cosの定義に出てくるように単位円に三角を描く）を描き、その高さと対応した円周の比がsin(x)/x であることに注目します。

次に考えている三角形の斜辺を少し伸ばします。そして
(x,y)=(1,0)の点からｘ軸と直角になるように伸ばした線を考えると一回り大きい三角形ができます。

この大きな三角形と小さいやつで円周をはさみうちします。はさみうちの原理をつかってxとsin(x)の比の極限を取りたいのですが、極限ではど・ろぴたるの定理を使うと直ぐにできます。ということで二つとも使えば簡単に証明できます。もちろん他の方法もあるでしょう。

お礼

おっしゃるとおり、dsin(x)/dx=cos(x)を使うと循環論法になりますね？しかし、私が尾ｍ追い出したいのは、分母、分子が微分可能な時に使う定理なんですよ。

回答No.2

kotakota1010

ロピタルの定理だと思います。こないだ授業でやりました。

お礼

いつも何気に使っているのに、どうしてそうなるのか思い出せないんですよね。No.3の方の方法を習ったのかとは思うんですがね。

回答No.1

m234023b

はさみうちの定理を利用します

お礼

ありがとうございました。記憶がよみがえりませんが、多分、No.3の方が示したような方法で習ったんだと思います。