正則かどうか

質問

いま、電気系の分野の伝送回路というのを勉強しています。
その中で、与えられた関数が正則かどうかを調べるところがありますが、どのように理解していいかわかりません。

与えられた関数（例題と答え）は、たとえば（数問例を出します。）

（1）
H(s)=1/(2s+2)
正則性:極はs=-1であるから、Res>0で正則

(2)
H(s)=1/(s^2+1)
正則性:s=+-jであるからRes>0で正則

sは複素周波数でs=σ+jωです。
jは虚数単位（？）です。数学でいうiです。

極を調べて、それの実部が0より大きいか小さいかを調べて、それが0より大きければその関数は正則ということですか？
こう考えると、（1）の場合はResはσで、それは「-1」で、すでにσ＞0になっていません。
なぜ（１）の関数は正則といえるのでしょうか？

また、（2）ですが、σは0ですよね。となるとσ=0>0
となり、よくわからなくなってしまいます。

これらはどのように理解すればいいのでしょうか？
教科書など見ても形式的（一般的）な説明ばかりでよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

torahuzuku · ベストアンサー

No2です。
＞分母=0となるs以外の場所なら全て正則ということですか？―そのとおりだと思います。

分母＞0のとき、つまりRes＞0のときは正則といえる。の表現は誤解を招きそうですので訂正します。

(1)の留数は分母≠0のとき分母は-1次ですのでその係数は分子の1ということで、Res H(s)=1＞0　です。
ご質問文中の答えの「Res＞0で正則」とはそのような意味かと判断しましたので前回の書き方をしてしまいました。

(2)では、Res H(s)=［1/2s］=-j/2　　(s=jのとき)
Res H(s)=［1/2s］=j/2　　(s=-jのとき)
と成るかと思いますので、ご質問文中の「Res＞0で正則」の意味はちょっと解りません。

回答No.2

torahuzuku

今晩は。
Res＞0で正則と解答にあることから、その極を調べてその実部が0より大きければ正則なのかな？と勘違いされたのだと思います。

関数f(z)がある点z0で正則とは、z0とz0の近傍が存在して、それらの点でf(z)が正則(すなわち微分可能のとき)なことをいうと思います。

(1)で、s=-1　のときは分母=0となり(1)は有限な極限値が存在しないので微分不能です。　s≠-1　以外では極限値が存在するので微分可能、すなわち正則となる。と考えても良いかと。

(2)で、s=±j　のときは分母=0となり微分不能、　s≠±j　以外では微分可能、すなわち正則となる。

ですから、(1),(2)とも　分母＞0　のとき、つまり Res＞0のときは正則といえる。ということかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
（１）についての疑問は下の方のお礼に書いたとおりです

いままで、H(s)=○○○という式があり、その式は○○○によって正則関数か、正則関数でないか2種類に分けられると考えていたのですが、そうでもないのでしょうか…。
分母＝０となるs以外の場所ならすべて正則ということですか？

的はずれなこといっているかもしれません。まだ少しこんがらがっています。

回答ありがとうございました。

回答No.1

atomicmolecule

混乱しているだけじゃないでしょうか。

Ｈ(s)=1/(2+2s)

は極がs=-1にあるから、もしもs≠-1の領域を考えるならばこの関数は正則である。Re(s)>0の領域はs≠-1なので正則な領域です。

極がs=-1にあると言うのを s=-1と勘違いしていはいけません。　s=-1になるときに分母が発散すると言う言葉を省略しているだけです。s=-1になるとき、そしてそのときのみ正則じゃないということです。

お礼

回答ありがとうございます。s=-1以外の領域では正則ということはわかりました。
Re(s)>0の領域はs≠-1なので正則な領域というのもわかりました。しかし、Re(s)<0の領域で、s=-1以外の場所も正則といえるのではないのでしょうか？どうしてこの場合は答えとして書いていないのでしょうか？

的外れな質問でしたらすいません。この勘違い（？）に気づかせてください。お願いします。