制御工学における周波数応答

質問

みなさんよろしくお願いいたします。
制御工学を勉強中ですが、周波数応答における位相の導出方法が分かりません。正弦波入力y(t)＝Asin(ωt)を入力信号とし、
系の伝達関数をG(s)とすると結果としてt→∞においての定常応答は
y(t)＝|G(jω)|Asin(ωt＋θ）となり振幅が|G(jω)|倍、位相はθ分進んだ信号になるとことまでは理解しました。

θを求める際、小職の手持ちの教科書では、
いきなり|G(jω)|＝√(実数部）^2＋（虚数部)^2とともに、θ＝tan-1(虚数部/実数部）となっております。どうやって導出したのかご存知の方がいらっしゃったらご教示をお願いいたします。URLなどにあれば参照URLをご教示ください。（さんざんネットサーフィンしましたがなかなかピンと来るサイトは有りませんでした。）

回答No.6

anachrockt

> これで自分では納得できました。
> 回答者さんが、ご納得いただければ、これで質問を締め切りたいと思います。
ご苦労様でした．
小生は，閉められても問題ありません．

ところで，電気屋は最初にsin(ωt)ではなく，exp(ωt)を使用する「位相」交流理論を
徹底的に学びます．交流理論の知識があれば，すぅ～っと理解できるため，今回何が
問題なのかよくわからなかったわけです．
この問題もsin(ωt)ではなく，exp(ωt)を使用して解き，オイラーの公式から求めると
計算は簡単になります．

お礼

早速のご連絡をありがとうございます。
小職は機械出身なので、交流理論や指数表示になれてなく、オイラーの公式もあまり馴染みが有りません。
もっと勉強してみます。
アドバイスをありがとうございました。

回答No.5

anachrockt

> 入力として正弦波入力y(t)＝Asin(ωt)を入力信号としたとき
> |G(jω)|Asin(ωt＋θ）
> となる所までは導くことが出来ました。
> ただし、その進んだ位相角度θが周波数伝達関数のG(jω）、
> つまり複素数そして(?)のG(jω）の角度＝tan-1（虚部/実部）と
> 一致することの証明ができません。

正弦波信号Asin(ωt＋θ0）を時不変線形な制御系に入力したとき，出力は
B・Asin(ωt＋θ0+θ1）となる，すなわち，入力信号に対しレベルと位相が
変化することは，理解できていますか？
レベルは|G(jω)|を入力に乗じ，位相はarg(G(jω))を入力に加えます．
これは，複素ベクトルの演算が理解できれば当然のこと，つまりそのように
定義されるということだと思います．結局，
B＝|G(jω)|，θ1＝arg(G(jω))
です．
複素関数論が理解できていれば，
log(G(jω))＝log|G(jω)| ＋ jarg(G(jω))
ですから，対数とれば簡単に|G(jω)|とarg(G(jω))は求まります．
「一致することの証明ができません。」て何を証明したのでしょうか？
これは，位相変化を求める問題で，証明する問題ではありません．

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
ご回答内容については理解しました。
たしかに「証明」ではなく式の導出でした。
申し訳有りません。
散々探し続けたネットで見つけたサイトから導くことが出来ましたので紹介します。
これで自分では納得できました。
回答者さんが、ご納得いただければ、これで質問を締め切りたいと思います。
正弦波入力u(t)＝Asin(ωt)が系G(s)に入力され出力がy(t)＝|G(jω)|Asin(ωt＋θ)で出力される場合を考えます。
それぞれをラプラス変換します。
U(s)＝L[u(t)]＝Aω/(s^2＋ω^2)
Y(s)＝L[y(t)]＝|G(jω)|Aω{cos(θ)＋(s/ω)sin(θ)}/(s^2＋ω^2)
よって伝達関数は次式で表わされる。
G(s)＝Y(s)/U(s)＝G(jω)|{cos(θ)＋(s/ω)sin(θ)}
よって周波数伝達関数はs＝jωを代入すると次式が得られる。
G(jω)＝|G(jω)|{cos(θ)＋j・sin(θ)}
α(ω)＝|G(jω)|cos(θ)、β(ω)＝|G(jω)|sin(θ)とおけば上式は次のように表わせる。
G(jω)＝α(ω)+jβ(ω)
よって複素数の性質から
|G(jω)|＝{α(ω)^2＋β(ω)^2}^0.5
θ＝tan-1{β(ω)/α(ω)}
と導かれる。ゆえに
|G(jω)|＝√(実数部）^2＋（虚数部)^2、θ＝tan-1(虚数部/実数部）

回答No.4

anachrockt

σ=0，s＝jωとしてよいことがわかっっていながら，単純な直角三角形に
於ける三角関数についてわからないのが，どうしても理解できません．
別のところでは，複素関数論も理解しているようですし．
他の回答者も何がわからないのか，わからない状態だと思います．

紹介した資料は，高校卒業程度の人に理解できるよう，sを使わないで
わかりやすく説明してあります．> なかなか難解です。

こちらはどうでしょうか？
http://ayumi.cava.jp/audio/ac/ac.html
筆者は経済学部卒のバリバリの文系でオーディオに関心がある人です．
わからないことは，こちらで質問できます．
http://8919.teacup.com/ayumi/bbs

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
小職の理解力が不足していて申し訳有りません。
しかしながら、やはりどうしても複素関数論は理解できても制御工学に出てくる周波数応答に関する次の事項
「周波数伝達関数のG(jω）の角度（tan-1（虚部/実部）」
　　＝「周波数応答の|G(jω)|Asin(ωt＋θ）のθ」
であることが導き出せません。
入力として正弦波入力y(t)＝Asin(ωt)を入力信号としたとき
|G(jω)|Asin(ωt＋θ）
となる所までは導くことが出来ました。
ただし、その進んだ位相角度θが周波数伝達関数のG(jω）、つまり複素数そしてのG(jω）の角度＝tan-1（虚部/実部）と一致することの証明ができません。
URLを拝見させていただきましたが、このことを証明しているところは、小職の理解の中では、見受けられませんでした。
以上の説明で何が分からないのか、ご理解いただけたでしょうか。
質問の仕方が悪く何度もご回答いただき、お手数をおかけして申し訳有りません。

回答No.3

usokoku

＞ご存知でしたらご教示をお願いします
２番の方の回答その物なので省略します。

回答No.2

anachrockt

実軸と虚軸は直交していますから，直角三角形で考えればピタゴラスの定理が適用できます．
これがわかりやすいでしょう．
http://www.asahi-net.or.jp/~bz9s-wtb/doc/power/NO1/tip1c6b.pdf
「ｊω」と書くよりも，「ｓ」と書いた方が簡単だと思いますが，この資料では「ｊω」と書いてます．
「ｓ＝σ＋ｊω」で，定常状態ではσ＝０，ｓ＝ｊωとしてよいことはわかってますよね．

お礼

返信送れて申し訳有りません。
ご教示いただいたサイトを熟読してみましたが、なかなか難解です。
定常状態ではσ＝０，ｓ＝ｊωとしてよいことはわかっています。
そこまでの証明は理解できました。
ただし、
「周波数伝達関数のG(jω）の角度（tan-1（虚部/実部）」
　　＝「|G(jω)|Asin(ωt＋θ）のθ」
であることが証明ができません。
ご存知でしたらご教示をお願いいたします。

回答No.1

usokoku

伝達関数　G(jω)は、虚数部と実数部の2つに分かれるベクトルであるということは、理解できていますか。

すると、ベクトル「G(jω)」は、大きさは実部と虚部のそれぞれの二乗の和の平方根(中学校か高等学校の虚数の内容その物)であり、

実軸の正の方向を0度と定義すると、実軸の負の方向は180度、虚軸の縦方向が自動制御ではj方向(古い内容では-jかも)で、90度であるという(高等学校の軸の変換、複素平面の表現方法、このあたりの内容そのもの)、表現の定義が自動制御の本の先頭10ぺー字あたりに書いてあるはずなのですが。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
伝達関数　G(jω)は、虚数部と実数部の2つに分かれるベクトルであるということは、理解できています。ただし、質問にあるように正弦波入力y(t)＝Asinωtにたいする出力の式がy(t)＝|G(jω)|Asin(ωt＋θ）と表わせることから振幅は|G(jω)|倍となり位相差はθであると記載があります。ここでθがなぜ周波数伝達関数のG(jω）の実部と虚部で示されたθ＝tan-1(虚数部/実数部）となるか繋がりがわかりません。どう繋がるのでしょうか。ご存知でしたらご教示をお願いします。