周辺密度関数

質問

「XとYの同時密度関数が
f(x,y)=1/2π (x^2+4y^2≦4)　
その他ではf(x,y)=0
であるとき
XとYの周辺密度関数f(x),g(y)を求めよ。」
という問題なのですが、単に-1≦y≦1なので
f(x)=∫(1/2π)dy　(積分範囲は-1から1まで）
と計算したのではだめみたいです。
解答にはf(x)=(1/2π)(4-x＾2)＾(1/2) (-2≦x≦2)
g(y)=(2/π)(1-y＾2)＾(1/2)
と書いてありました。
どなたか分かる方、解説してください。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

周辺密度関数というのは聞き慣れないけれども
ｆ（ｘ）＝∫（－∞＜ｘ＜∞）ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ
の事でしょう。
計算すると図をみながら
－２＜ｘ＜２において
ｆ（ｘ）＝
∫（－∞＜ｘ＜∞）ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝
２∫（０＜ｘ＜√（１－ｘ＾２／４））（１／（２π））ｄｘ＝
√（１－ｘ＾２／４）／π
ｘが他の時にはｆ（ｘ）＝０は明らか。
ｇ（ｙ）も同じようにして補足に書いてください。

補足

g(y)=∫(-√(4-4y^2)＜x＜0)(1/2π)dx＋∫(0＜x＜-√(4-4y^2))1/2πdx＝(2/π)√(1-y^2)

で良いんでしょうか？

回答No.3

keyguy

で良いんでしょうか？

はい

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

keyguy

文脈から分かると思いますが
積分内の”＜ｘ＜”は”＜ｙ＜”の間違いです。
キー入力というやつは間違いやすくはがいたらしいね。