部分分数の和を利用した数列の和

質問

何度も申し訳ないのですがまたもや数列について質問させていただきます。
次の和を求めよ。
1/1・3＋1/2・4＋1/3・5・・・・・+1/n(n+2)
という問題なのですがこの問題の解答で
この数列の第k項は1/k(k+2)=1/2(1/k-1/k+2)
となっていました。それで下に載っていた検討欄を見たのですが
1/k-1/k+2=・・・・・・
となっていたのですがなぜいきなり引くのかが全然わかりません＾＾；
何度もお世話になってしまい大変申し訳なく思うのですがどなたかわかりやすくお願いします

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

c_k=1/{k(k+2)}
S=Σ_{k=1～n}c_k

1/{k(k+2)}=(a/k)+{b/(k+2)}
とすると
1/{k(k+2)}
=(a/k)+{b/(k+2)}
=[a(k+2)/{k(k+2)}]+[bk/{k(k+2)}]
={a(k+2)+bk}/{k(k+2)}
={(a+b)k+2a}/{k(k+2)}

1/{k(k+2)}={(a+b)k+2a}/{k(k+2)}
1=(a+b)k+2a
a+b=0
2a=1
a=1/2
b=-1/2

1/{k(k+2)}
=(a/k)+{b/(k+2)}
={1/(2k)}-[1/{2(k+2)}]
=(1/2)[(1/k)-{1/(k+2)}]
∴
1/{k(k+2)}=(1/2)[(1/k)-{1/(k+2)}]

回答No.2

unodos_12

よくある問題ですので、とりあえず解答です。
和を構成する各項をｎ＝１から順に縦に並べます。

１／（１・３）＝１／２（１／１－１／３）
１／（２・４）＝１／２（１／２－１／４）
１／（３・５）＝１／２（１／３－１／５）
１／（４・６）＝１／２（１／４－１／６）
・・・
１／（（ｎ－２）・ｎ）＝１／２（１／（ｎ－２）－１／ｎ）
１／（（ｎ－１）・（ｎ＋１））＝１／２（１／（ｎ－１）－１／（ｎ＋１））
１／（ｎ・（ｎ＋２）＝１／２（１／ｎ－１／（ｎ＋２））

すると、右辺の縦方向で相殺する部分が出てきます（－１／３と１／３，－１／４と１／４・・・）。
最後に相殺されなかった部分の和を求めると、
Ｓ＝１／２（１／１＋１／２－１／（ｎ＋１）－１／（ｎ＋２））
＝１／２（３／２－１／（ｎ＋１）（ｎ＋２））
＝３ｎ（ｎ＋３）／４（ｎ＋１）（ｎ＋２）
となると思います（計算には自信がないおじさんですので考え方のみでご容赦ください）。