母関数の利用の仕方を教えてください

質問

はじめまして。大学２年で今物理を学んでいます。
実は最近量子力学がまったく分からなくて困っています。
たぶん、計算の方法がよくわかっていないのだと思うのですが・・・。

１次元調和振動子の固有関数Un(x)と、状態の波動関数Φ(x)の内積がΦを固有関数で展開する展開係数になるのは分かるのですが、その計算ができません。

具体的には、
Φ =Ae^(-λx^2) Aは規格化定数
Un(x) =Nn*Hn*e^(-1/2(x/b)^2) Nnは規格化定数　Hnはx/bのエルミート多項式

また、求める際に母関数を使うようにと書かれています。

どうすれば展開係数を求めることができるでしょうか？
記号ばかりで少々読み取りにくいとは思いますが、どうかよろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

エルミート多項式の母関数

　exp(tx/b - t^2/2) = ΣHk(x/b) t^k/k!

の両辺に e^(-λx^2)*e^(-1/2(x/b)^2) をかけてxで積分すると

　exp( - t^2/2)∫ exp[ -(λ+ 1/2b^2)x^2 +tx/b ] dx
= Σt^k/k! ∫Hk(x/b) e^(-λx^2)*e^(-1/2(x/b)^2) dx

ここで a= λ + 1/2b^2 とおくと

左辺 = exp( - t^2/2)∫ exp[ -a(x - t/2ab)^2 + t^2/4ab^2 ] dx
= exp( - t^2/2)*exp[ t^2/4ab^2 ]√(π/a)

だから
　 exp( - t^2/2)*exp[ t^2/4ab^2 ]√(π/a)
= Σt^k/k! ∫Hk(x/b) e^(-λx^2)*e^(-1/2(x/b)^2) dx

この両辺をtでn回微分してからt=0 とおくと　∫Φ(x)Un(x) dx の積分が得られます。

お礼

具体的な計算式を書いて下さって、ほんとうにありがとうございます。見ながらすごいなぁ、こんなことできるんだ～と思わず感心してしまいました。記号ばかりで打つのも大変そう・・・。でも本当にとても助かりました☆ありがとうございます。

回答No.1

KENZOU

これは大抵の量子力学のテキストあるいは演習書に載っていると思います。ちなみに演習書では
岡崎誠・藤原毅夫著「演習量子力学」サイエンス社
これは図書館等でご覧になられるとよいでしょう。
また、参考URLには具体的な解き方が載っていますので参考にしてください。
エルミート多項式の計算はじっくり落ち着いて取り組むことが肝要です。しかし、その後の量子力学の勉強でこの計算にお目にかかることは殆どありません。ですから、うまく計算できないからといって何も心配することはありません(←老婆心）。

参考URL：

http://maverick.riko.shimane-u.ac.jp/files/quant3b/quant3b.html

お礼

とても早いお返事ありがとうございます。何か載ってる本はないかと大学の図書館で一応探し回ってみてはいたのですが・・・やっぱり載ってるものもあったんですね。実家に帰ってしまうとなかなか図書館で調べる時間もなく、具体的な解きかたのあるサイトを教えていただけてとても助かりました！ありがとうございました。