線対称な４次関数の計算

質問

ｘの４次関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
のグラフy=f(x)が直線x=pに関して線対称となる場合、係数a～dの関係式を求める問題についてです。

以下の２種類の計算方法を試したところ、結果が一致しません。どこが違うのでしょうか？

方法１：
任意のｘ座標の、直線x=pに関して対称な位置は2p-xなので
任意のｘについてf(x)=f(2p-x)
これを展開し係数比較
結果
３乗の項：-8p-a=0
２乗の項：24p^2+6ap+b=0
１乗の項：-32p^3-12ap^2-4bp-c=0
定数項：16p^4+8ap^3+4bp^2+2cp+d=0

方法２：
直線x=pから左右の等しい距離x1にあるｘ座標はp+x1とp-x1なので
任意のx1においてf(p+x1)=f(p-x1)
これを展開して係数比較
３乗の項：4p+a=0
２乗の項：０
１乗の項：4p^3+3ap^2+2bp+c=0
定数項：０

どう見ても違います。なぜでしょうか？

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＞しかし、それでも方法２と一致しません。

よくみてください。

方法１と方法２の３乗の項の式は同じです。
また、方法１の２乗の項の式は、4p+a=0なら当然成立しています。

他の式も、4p+a=0が成り立っていれば同じ式になります。
（a=-4pを代入してみてください）

お礼

理解しました。
代入してみれば結局は同じですね。

回答No.1

nag0720

方法１はf(x)を忘れていませんか。

３乗の項：-8p-a=a
２乗の項：24p^2+6ap+b=b
１乗の項：-32p^3-12ap^2-4bp-c=c
定数項：16p^4+8ap^3+4bp^2+2cp+d=d

お礼

ありがとうございます。
お話しの通りf(x)を忘れてました。
しかし、それでも方法２と一致しません。