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固有値の最大値

下記の固有値の最大値に関する問題がわかりません。 Σ^(n)i=1 xi^2=1とする。このとき、実2次形式G(x)=Σ^(n)i,j=1 sij*xi*xj(ただし、sij=sji)の最大値はS=(sij)の固有値のうちの最大値と一致することを証明せよ。(i,jは全て下付き文字です) なにをどう進めて証明するのか見当もつきません。 式がみづらくて申し訳ありませんが、どなたか助けて下さい。

みんなの回答

回答No.3

線形代数の教科書のどれにでも書いてあることですが、 「対称行列Sの規格化された固有ベクトルを並べて作られる直交行列をO、その転置行列をO'とするとO'SOは対角化され対角成分は固有値になります。」 xiを成分とする規格化されたベクトルをx、  y = O'x とおくとyも規格化されたベクトルであり、   G(x)=Σ sij*xi*xj = x'Sx = x'OO'SOO'x = y'O'SOy = Σαi yi^2

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回答No.2

「対称行列は直交変換で対角化できる。このとき対角線上には固有値が来る。」ということは有名なので使って良いでしょう。すなわちsijの固有値をαiとすると  G(x)= Σ^(n)i=1 αi xi^2 , (Σ^(n)i=1 xi^2=1) となります。最大の固有値をα1 とするとG(X)が最大になるのはx1=1, xj=0(j≠1)のときであることは明らかでしょう。

essential2
質問者

補足

回答有難うございます。 G(x)=Σ^(n)i,j=1 sij*xi*xjから G(x)= Σ^(n)i=1 αi xi^2 の変換はどういう過程で変換されたのでしょうか。 教えていただけないでしょうか。

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

S は対称なんだから, 対称行列の固有値・固有ベクトルに関する性質をひたすら挙げていけばそのうち「使えそうなもの」が見付かる... んじゃないかなぁ.

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