f_xy(c)は定義によれば偏微分を2回続けて行ったものであり,
1つの変数についての極限操作を2回繰り返して得られる.
ところがこれを2次元空間R^2における1つの極限で表すことが出来る.
これが成り立つ正確な理由はその次以降に書いてある通り
2次元空間R^2における1つの極限とは
lim_{(h,k)→(0,0)}Δ/(hk)
との事です。
いまl=(h;k)∈R^2を小さくとり,e+l∈Wとなるようにする.
また
φ(x)=f(x,b+k)-f(x,b)
と置けば
φ'(x)=f_x(x,b+k)-f_x(x,b)
である.
いま
Δ(l)=Δ(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)
と置けば,
平均値の定理により
Δ(h,k)=φ(a+h)-φ(a)=hφ'(a+θh)=h{f_x(a+θh,b+k)-f_x(a+θh,b)}.(0<θ<1)
仮定によって(a,b)の近傍でf_xyが存在するから
y=bとy=b+kとの間の区間に関して,平均値の定理を適用すれば
Δ=hkf_xy(a+θh,b+θ'k).(0<θ'<1)
仮定によってf_xyは点(a,b)において連続である.∴
lim_{(h,k)→(0,0)}Δ/(hk)=f_xy(a,b)
x,hとy,kとを交換しても同様に
lim_{(h,k)→(0,0)}Δ/(hk)=f_yx(a,b)
お礼
2次元空間の極限で表せる⇒以下の証明 かと、勘違いしていました。 下の証明⇒2次元空間の極限で表せる だったんですね。もっと注意して読まなきゃなと思いました。わざわざ以下の証明のまだ描いていただきありがとうございました！