整数論 合同≡

質問

「自然数ｍが奇数とし、ｘｉ：＝２ｉ（１≦ｉ≦ｍ）とおく。このとき、任意の整数ｙに対して、ｙ≡ｘｉ（mod m）となるようなiがただ一つだけ存在することを証明せよ。」
証明をしたのですが、以下のようでいいのですか？
添削して気づいたことを教えてください。
（証明）
ｙ≡xi（mod　ｍ）（１≦ｉ≦ｍ）
【1】ｍ＝１のとき、ｙ≡ｘ1≡２（mod　１）より、明らかに成立。
【2】ｍ≠1のとき、i≠ｊとする。
　　xi≡ｘｊ（mod　ｍ）と仮定すると
　　2i≡２ｊ（mod　ｍ）　
　　i≡ｊ（mod　ｍ）　
　　i≠ｊよりi≡/ｊ（mod　ｍ）　（←≡/は合同でない）
　　従って矛盾よりxi≡/ｘｊ（mod　ｍ）
　　今、ｍ子の整数x1，x２，…，xmをｍで割った時の余りは全て異なる。
　　また、整数ｙをｍで割ったときの余りは0,1，…，m-1のｍ個。

よって任意の整数ｙに対して、ｙ≡ｘｉ（mod m）となるようなiがただ一つだけ存在する。

回答No.2

graphaffine

それでは、お言葉に甘えて添削しましょう。勿論、私の流儀で書かせてもらいます。

ｙ≡xi（mod　ｍ）（１≦ｉ≦ｍ）　　（１行目）
いきなりこれだけ書いても意味が不明です。ｙは何？ｍは何？と私なら言います。
問題からわかると言いたいなら、そもそもこの1行目は不要。

あえて書くとしたら、私ならば次のようになる。

奇数ｍが与えられたとき、任意の整数ｙに対しｙ≡xi（mod　ｍ）（１≦ｉ≦ｍ）を満たすｉが一意に存在することを示す。

また、証明本体の構造は次のようになるでしょう。

「まず、存在することを示す。

　　　存在証明を書く。

次に一意性を示す。

　　　一意性の証明を書く。」

#1のかたの仰るように、確かに正しい存在証明
は書いてないですが

＞また、整数ｙをｍで割ったときの余りは0,1，…，m-1のｍ個。

は、存在証明を意図してるような感じですね。これを、きちんとした形にすればいいです。

一意性の証明は、#1の方に同感。

回答No.1

eatern27

＞【2】ｍ≠1のとき、i≠ｊとする。
＞　　i≠ｊよりi≡/ｊ（mod　ｍ）　（←≡/は合同でない）
まず、ここ。一般的には、i≠jならばi≡/jは成り立ちません。例えば、2≠5ですが、2≡5(mod 3)です。
したがって、1≦i,j≦mであると言う必要があるでしょう。
しかし、ここのi,jは「i≠ｊとする」という風に定義していますので、一般には1≦i,j≦mが成り立ちません。(もちろん、この範囲のを考えているのでしょうが)なので、最初から、1≦i＜j≦mなどとしておいた方がいいかと。(i,jの対称性からj＜iの場合は考えない)

＞　　また、整数ｙをｍで割ったときの余りは0,1，…，m-1のｍ個。

細かいですが、ここも。
整数yをｍで割った時の余りは「余りの定義」から１つしかありません。(例えば、4を3で割った余りは1のみです)
まぁ、おそらくは、yを整数全体で動かした時、「整数yをｍで割った時の余り」は、0,1，…，m-1のｍ種類の値を取りうる、という事を言いたいのでしょうが、それは不要です。(もちろん、書いてはいけない、というわけではないですが)
例えば、ｙをｍの倍数全体で動かしても、「任意のｙに対して、ｙ≡ｘｉ（mod m）となるようなiがただ一つだけ存在する」はやっぱり成り立ちますよね。だから、ｙがｍ種類の余りをとる事は重要ではありません。

で、一番重要なのは、
「ｙ≡xiとなるiが少なくとも１つは存在する」という事が書かれていないことでしょうか。
もちろん、この事は
＞今、ｍ子の整数x1，x２，…，xmをｍで割った時の余りは全て異なる。
から直ちに分かることです。が、この証明で示すべきことは
「ｙ≡xiとなるiが少なくとも１つは存在する」
「ｙ≡xiとなるiは存在したとしても１つだけ」
の２つですよね。
なので、「整数x1，x２，…，xmをｍで割った時の余りは、0,1,…,m-1の並び替え」など、２つをまとめて書いた形でも何でもいいですが、「整数x1，x２，…，xmをｍで割った時の余りが全ての余りを網羅している」という事を明らかな形で書いた方がいいと思います。

他は、問題ないかな、と。多分。

大枠は、45hanさんの方針でＯＫですので、参考程度ですが、
この問題に限らず、「ただ一つだけ存在する」を示す場合には、
「具体的に一つ提示する」(←この方針は使えない場合もある)
「２つあったら、その２つは同じもの」
の２つを証明する事が多いです。

前者の方はこの問題で言えば
yをmで割った余りが2kの時は、i=kとすればよいし、
yをmで割った余りが2k+1の時は、i=(2k+1+m)/2とすればよい。
のように、具体的にiを一つとる、という方針ですね。
(具体的に見つからない場合は、別の方針で「少なくとも１つ存在する」を示すことになる)

後者の方は、割とよくやる証明ですね。この問題で言えば、
y≡xi≡xjとすると、2(i-j)≡0。0≦i-j≦m-1よりi=j
という感じの証明になるでしょうか。(xi,xjの２つが条件を満たせば、xi=xjでなければならない、って事)

長文＆乱文失礼しました。