互換に関して

質問

下はiとjを入れかえる置換、つまりi,jの互換です。
※i,jの互換を(i,j)と表します。

|1 2 … i j … n|
|1 2 … j i … n|

これがとなり合う互換の積で表されることを示したいと
思っています。

具体例をあげると1と3の互換(1,3)は
｜1 2 3|
｜3 2 1|

＝(1,2)(2,3)(1,2)
となり、となり合う互換の積で表されます。
これの一般的な場合の証明が分かりません。
どなたか教えて下さい。よろしくお願い致します。

回答No.2

endlessriver

＃１です。
誤りました。以下に訂正。
(i,____,j)の部分の交換をします。
１．iをjの位置へ移動。(i,____,j)を(i+1,____,j,i)へ
(j-1,j)(j-2,j-1)....(i,i+1)
２．jを(i+1)の位置へ移動。(i+1,____,j,i)を(j,i+1,____,j-1,i)へ
(i+1,i+2)(i+2,i+3)....(j-1,j)
置換の変化は＃１のようになります。

回答No.1

endlessriver

１．i<jとする。
２．i+1=jのとき（すなわち、隣り合っているとき）
　　(i,j)で証終．すなわち、i+1<jのとき示せばよい．
３．n=3のとき成立．証略．
４．nのとき、命題が成り立つとして、n+1を考える．
５．j<n+1のとき、nの置換と同等だから仮定により、証終．
６．j=n+1とする。次の一連の隣り合った交換をする．
(n,j)→(1,2, ,i,i+1, ,n-1,j,n)
(n-1,n)→(1,2, ,i,i+1, ,n-2,n,j,n-1)
(n-2,n-1)→(1,2, ,i,i+1, ,n-3,n-1,n,j,n-2)
....
(i,i+1)→(1,2, ,i-1,i+1, ,n-2,n-1,n,j,i)
すると、この置換は内部の置換
(i+1, ,n-2,n-1,n,j)
と同等になり、これらは隣り合った数値でかつ、個数はn以下だから、仮定により、この置換は隣り合った交換で現される。
故に、n+1でも命題が成立。証終．