数列の解法

質問

Sn=n(95-3n)/2の時、Tn=Σ(k=1～n)SkとTnは、ｎ=『　』の時、最大値『　』をとる。

という問いで、まず　Tn=Σ(k=1～n)Sk　を解いた時にできるｎの方程式の最大値
の自然数が答えになると思って解いてみたところ、√がでてきてかなりややこしくなりました。なにかいい解答の仕方がありませんか？教えてください。

回答No.1

NyaoT1980 · ベストアンサー

Σｎ（９５－３ｎ）/２
について、
（Σｎ（９５ｎ－３））＊１/２
＝（９５/２）Σｎ＾２－（３/２）Σｎ
となりますね。分けて考えると・・
シグマの公式から、二分の一をまず外に出して考えると、
（１/２）［（９５/２）ｎ（ｎ＋１）－（３/６）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）］
これを因数分解します。
（１/４）[ｎ（ｎ＋１）（９５－２ｎ＋１）］
＝（１/４）[ｎ（ｎ＋１）（９６－２ｎ）］
ここで、カッコの中について考えればOKですね。

ちなみに参考URL、公式の憶え方参考にしてください。

参考URL：

http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/s-koushiki.html

お礼

有難うございました。カッコの中だけ計算すればよい、というエレガント！？な解き方を教えてくださって有難うございました。私が思うには、自分は計算ミスをただしていたと思います。今後、それをなくしていきたいと思います。

回答No.4

Umada

kony0さんのご回答にもありますように、数列の和の最大・最小を求めるにはこんな方法もあります。

Tnを最大にするnの値をiと置いてみます。
その上でTi-T(i+1)と、Ti-T(i-1)を作ってみます。
iを一つ増やした/減らしたときにTnの値が増えるか減るかを調べるわけです。もしn=iでTnが極大なら、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)とも正の値になるのはすぐにお分かり頂けると思います。(iが最初の条件を満たさなければ、Ti-T(i+1)、Ti-T(i-1)のどちらかは負の値となる)

さっそく式を作ってみると
　Ti-T(i+1)＝-(i+1)(95-3i-3)/2　　(1)
　Ti-T(i-1)＝i(95-3i)/2　　(2)
となります。(うち消せない最後の1項が残るだけですが)
(1)>0, (2)>0とおいて、連立させて不等式を解けばよいわけです。(両方とも本質的に同じ方程式ですが)
(2)から　0<i<95/3　と求められます。
(1)は　i<-1または92/3<i　と出てきます。
両方を満たす正整数iは31しかありませんから、n=31で極大になるはずです。

さて、ここまででは、n=31でTnが「極大」であることしか言えません。最大であることまで言うには(1)が1≦i＜31で常に負であること(すなわち、Tnがnに対し単調増加)、(2)が31＜iで常に負であること(すなわち、Tnがnに対し単調減少)であることを補足しなければなりません。
これらは式(1)(2)を見ればほとんど自明ですから証明はいりませんが、一言書く必要はあります。

*計算間違いをしているかも知れませんので、式をご自身でチェックしながら読んでいただければ幸いです。

お礼

有難うございます。別解の仕方がよくわかりました。本当に有難うございまいた。

回答No.3

kony0

最大値をとるｎの出し方のほうがわかっていなさげですね。
これはアイデアがあったかどうかにつきます。
つまり、S_kが正か負かを考えればよいということです。
ヒントはT_k - T_{k-1} = S_k となることです。

ぶっちゃけてしまうと、自然数kに対して、k<=31ならばS_k>0, K>=32ならばS_k<0なので、
31個目まで足してもT_nはどんどん増えていきますけど、32個目以上のものを足していくと、T_nはどんどん減ってしまう。だから31個目まで足すことにしよう・・・という寸法です。

おそらくvikkyiさんの考え方は、T_nを計算して微分して・・・とやったんだろうと思います。それはもちろん考え方としてひとつも間違っていないんですが、他にも方法があるということで。（微分ではなくて「差分」を考えてるということになります。高校の教科書上、差分という言葉は出ないだろうし、あまり意識していないかもしれませんが、よくやる手法です。［あとは隣接２項間の比をとるとか］）

＃ちなみにnの「方程式」というのは間違いですね。nが連続の値をとると仮定して、「関数」の極大値（定義域が正の範囲における最大値）を求めようとした、ということでしょう。

回答No.2

NyaoT1980

＃１です。
続きを・・
括弧の中について、展開すると
－２ｎ＾３＋９４ｎ＾２＋９６であります。
これの最大値と最小値を求めるには微分して０とおきます。
微分すると、
－６ｎ＾２＋１８８ｎ
となるので、これを０とおくと
－６ｎ＾２＋１８８ｎ＝０
３ｎ＾２－９４ｎ＝０
３ｎ（ｎ－９４/３）＝０
ｎ＝０、９４/３
が解となります。ただし、ｎは２より大きい整数のはずですね。
なので、これに近い自然数すなわち、３１（＝９３/３）が解となると考えられます。
このときの答は８４３２ですね。

お礼

有難うございました。私は計算ミスをしていたことにきずきました。
今後、計算ミスをしないように慎重に解きたいと思うます。