数学３の問題です

質問

数学３の問題です

自然数ｎに対し

Sn=1-1/2+1/3-1/4+.....+1/2n-1-1/2n

Tn=1/1+n　+　1/n+2　+　......+　1/2n

とおくとき

Sn=Tnを証明してください
よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.1です。
＞２段めから３段めの式変形をもう少し詳しくお願いしてよろしいですか？？

=Σ[k=1→n] {1/(2k-1)-1/(2k)}
=Σ[k=1→n] 1/(2k-1) -(1/2)Σ[k=1→n] 1/k

　この式変形のことですか？
　ただΣの中を分けて、1/2 をΣの前に出しただけですが。

=Σ[k=1→n] 1/(2k-1) -(1/2)Σ[k=1→n] 1/k
={Σ[k=1→2n] 1/k - Σ[k=1→n] 1/(2k)} -(1/2)Σ[k=1→n] 1/k

　ひょっとすると、こちらのこと？
　これは第1項のΣが１～２ｎまでの奇数の逆数の和になっていたので、これを１～２ｎまでの逆数の和から　１～２ｎまでの偶数の逆数の和から引いたものに置き換えたものです。

＞あとこれの続きの問題です。もし良ければお願いしたいです。
＞Tn＜∫(0→1) dx/1+x＜Tn+1/2n

　追加質問か～
　区分求積法で明らかだと思うんだけどな。
　　Tn=Σ[k=1→n] 1/(n+k) =　(1/n)Σ[k=1→n] 1/(1+k/n)
　こう変形すれば、不等式の左辺は、幅1/n 高さ1/(1+x) （ただし、x=k/n, 0<x≦1）の長方形の面積を足し合わせてものだと分かると思います。
　（ f(x)=1/(1+x) は単調減少関数で、左側の不等式は右端型を利用しています。）
　http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html

　右辺は次のように書き換えられ、n～(2n-1)の逆数の和になります。
Tn+1/(2n)
=1/(1+n)+1/(n+2)+......+1/(2n-1)+1/(2n)+1/(2n)
=1/(1+n)+1/(n+2)+......+1/(2n-1)+1/(2n)×2
=1/(1+n)+1/(n+2)+......+1/(2n-1)+1/n
=1/n+1/(1+n)+1/(n+2)+......+1/(2n-1)
=Σ[k=0→n-1] 1/(n+k)
=(1/n)Σ[k=0→n-1] 1/(1+k/n)

　このことから右辺は区分求積法の左端型を利用していることが分かります。

　つまり、与えられた不等式は　単調減少関数f(x)に対して
　　　(1/n)Σ[k=0→n-1] f(x) < ∫[x=0→1] f(x)dx < (1/n)Σ[k=1→n] f(x)
という不等式を表しているだけです。
　この不等式の関係は　ご自分で図を描いて確認してください。

回答No.1

Mr_Holland

式変形で証明できますよ。

Sn
=Σ[k=1→n] {1/(2k-1)-1/(2k)}
=Σ[k=1→n] 1/(2k-1) -(1/2)Σ[k=1→n] 1/k
={Σ[k=1→2n] 1/k - Σ[k=1→n] 1/(2k)} -(1/2)Σ[k=1→n] 1/k
=Σ[k=1→2n] 1/k - Σ[k=1→n] 1/k
=Σ[k=n+1→2n] 1/k
=Tn

お礼

ありがとうございます
シグマの式変形は考えたのですが・・
２段めから３段めの式変形をもう少し
詳しくお願いしてよろしいですか？？

あとこれの続きの問題です
もし良ければお願いしたいです

Tn＜∫(0→1) dx/1+x＜Tn+1/2n