ちょうど一組とれる証明の仕方＞＿＜？？と代入した式について。

質問

放物線ｙ＾２＝４ｘと点Ａ（a.b)がある。ただし４a>ｂ＾２とする。このとき、この曲線上の点Ｐの点Ａに関する対称点Ｑが、再びこの曲線上にあるような点Ｐ，Ｑは、ちょうど一組とれることを証明せよ。

私はまず、
最初に点Ｐ（ｘ、ｙ）として座標を決めて、
Ｑ（Ｘ，Ｙ）としました。

Ａ（a.b)の位置はＰＱの間なので
a=x+X/2 , b=y+Y/2と表せるので、
Ｘ＝２a-x, Ｙ＝２ｂ－ｙとしました。

その後、上の値を何かの式に代入できる？
と考えたので、（良くこういう流れなので。。）
ｙ＾２＝４ｘの式のｙとｘに、上のＸとＹを代入しました。ここで、文字はＸ＝と大文字ですけど、
ｙ＾２＝４ｘの放物線上にある点Ｑの座標（ｘ、ｙ）について大文字のＸとＹで表してるだけなので
代入しました！！

そしたらＸ＝..とＹ＝..
ｙ＾２＝４ｘに代入すると
(２ｂ－ｙ）＾２＝４（２ａ－ｘ）と
式が得られました。

そして、この式を展開すると
４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘとなりました。

ここまで解ったのですけど、これ以上どうしたらこの問題が解けるのか、わかりませんでした＞＿＜

また、この問題を解いていてチョット疑問に思った事は、Ａの座標は中点の定理でＰとＱの中間なのでX+x/2=a Y+y/2=aと最初しました。
この式を変形すると、Ｘ＝２ａ－ｘとなったのですが
この場合の
Ｘ＝2ａ-ｘって、（Ｙ＝２ｂ－ｙも）
Ｑの座標のＸについて表してるのでしょうか？
（だってＸ＝となってるので。。）
それとも、Ａの関係を含んだＱの座標（Ｘ，Ｙ）を表してるのでしょうか？？

どうして悩んでるかというと、
Ｘ＝２a-xとＹ＝。。を用いて
ｙ＾２＝４ｘに代入して得られた式
４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘが
何の式か良くわかりません＞＿＜！？

誰かこの問題教えてください＞＿＜！！

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

まあ、いいところまできてます。

＞ｙ＾２＝４ｘに代入すると
＞(２ｂ－ｙ）＾２＝４（２ａ－ｘ）と
＞式が得られました。
＞そして、この式を展開すると
＞４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘとなりました。
これは、Ｑが放物線上にあるという条件ですね。

あと、Ｐ(x,y)が放物線上にあるという条件をまだ使っていません。
y^2 = 4x
です。
これを、
４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘ
に代入して、ｘを消してください。
４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－ｙ＾２
です。これをyの２次方程式と思って整理すると、
y^2 - 2by + 2b^2-4a = 0
です。で、判別式を計算すると、これが２つの異なる解を持つことがわかります。
この２つの解が、ＰとＱのｙ座標になってるわけですね。

＞この場合の
＞Ｘ＝2ａ-ｘって、（Ｙ＝２ｂ－ｙも）
＞Ｑの座標のＸについて表してるのでしょうか？
＞（だってＸ＝となってるので。。）
＞それとも、Ａの関係を含んだＱの座標（Ｘ，Ｙ）を表してるのでしょうか？？
何が言いたいのかいまいちわかりませんが、多分、両方とも正しいです。ＸはＱのx座標を、ＰとＡの座標を用いてあらわしたものです。

＞４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘが
＞何の式か良くわかりません＞＿＜！？
考え方はいろいろありますが、単純にいえば、これはＱが放物線上にのっているという条件を、Ｐの座標(x,y)を使ってあらわした式ですね。

お礼

返事書いて頂いてありがとうございました！！
代入した後の式が何なのか解りました＞＿＜！！本当にどうもありがとうございました！！！

回答No.2

plexus

まず、数学を解く際には、
「何が変数で何が定数なのか」考えて解きましょう。

この場合a,bは定数で、x,y,Ｘ，Ｙは変数ですよね。

それで、Ｘ、Ｙ、x,yには関係式があるんですよね。

それが、既出の
Ｘ＝２a-x,
Ｙ＝２ｂ－ｙ
４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘ

と、あとひとつ、あなたが忘れていた、

ｙ＾２＝４ｘ

です。

そう、変数４つに対して式４つならば
解けますよね。値は定まりますよね。

４ｂ＾２－４ｂｙ＋ｙ＾２＝８ａ－４ｘ
のxに
ｘ＝ｙ＾２/4

を代入して整理すると、

y^2-2by+2b^2-4a=0

となり、

yの二次式⇒yが求まるよ！

となります。

でもここでは実際に値を出すことが重要なのではなく、
むしろ、

「どのようなa,b(４a>ｂ＾２)に対しても、yがふたつだけ存在する」

ことを示せばいいんですよね？
（ここで、なぜふたつ？ひとつじゃないの？と疑問に思うでしょうが、ＰとＱが逆の場合でyは2種類あるわけです。常に２種類あればいいわけです。わかりますか？）

だから、判別式Ｄ＞０を示せればよい。

そして運のいいことに、４a>ｂ＾２が、
そのままＤ＞０と同値なんですね！

以上です。とにかく最初のアドバイス、何が変数で何が定数なのか考えてみてくださいね。

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！あと、変数と定数の区別が出来るようにします！！！＞＿＜本当にどうもありがとうございました！！！