数(3)の微分についてです。

質問

媒介変数で表された関数の微分法についてなのですが、教科書に下のような説明が書いてあります。

x=f(t),y=g(t)と表され、x,yがtについて微分可能のとき
合成関数の微分法により
dy/dx＝dy/dt*dt/dx ・・・(1)
したがって
dy/dx＝dy/dt*1／dx/dy＝dy/dt／dx/dt＝g`(t)/f`(t)

(1)の合成関数の微分っていうのはyがtで微分できて、tがxで微分できるときに使えるんですよね？てことはyがtの関数で、tはxの関数で無ければならないと思うのですが、最初に与えられているのはyはtの関数、xはtの関数ってことだけで、tはxの関数であるとは限らないと思うのです。なので上の証明はx=f(t)の逆関数が存在する時しか成り立たないのではないのでしょうか？何故いつも成り立つのかがわかりません。
初歩的な質問ですみませんm(__)m

回答No.2

nickdayo · ベストアンサー

これはf'(t)≠0となるtの範囲に限定して言えることでしょう。
このtの範囲では、f'(t)≠0なのですから、(t,x)座標上のx=f(t)という曲線を考えると、単調に増加または減少します。
ということは、このtの範囲でtとxは1：1に対応しているってことです。(単調に増加・減少する曲線の図を描いてみてください)
つまり、tの値が1つ決まるとxの値も1つだけ決まり、逆にxの値が1つ決まるとtの値も1つだけ決まるってことです。

関数っていうのは、ある値が1つ決まれば、それに対応する値がたった1つだけ求まるものでしたね。
上記の「xの値が1つ決まるとtの値も1つだけ決まる」っていうのはまさに逆"関数"ですよね。
つまり逆関数があるってことですよね^^

ちなみにtの範囲は実数全体ということも考えられるし、限られた範囲のこともあります。
高校の教科書でもよく読むともうちょっと条件が書いてあったり、説明が書いてあったりすると思います。
教科書をもう一度よく読んでみるといいですよ^^

回答No.1

noname#24477

たとえば
x=t^2
のとき
dx/dt＝2t
よってdt/dx＝1/(2t)

これも厳密な意味では（実数全体では）逆関数が存在しませんが
ｔ＝±√ｘ
ｔ＞０（ｔ＝０も入れていいですが）に限定すればｔ＝√ｘ
ｔ＜０に限定すればｔ＝－√ｘ

ある限られた範囲に分けて逆関数が存在していれば良いです。
で、微分可能なときはそのように作ることは可能なので
断り無く使ってしまいます。