面積の定義

質問

面積とはどうやって定義されているのでしょうか？
線の集合ならば、線には面積がないのでなにも生まれないと思うんですが…。

回答No.2

pyon1956 · ベストアンサー

線ではなく、無茶苦茶細い短冊なんです。
これには「面積」が存在します。
実際には定義の仕方でいろいろあって。
ルベーグ測度などを使って定義するか、超準解析をつかって定義するか。
ですがおおむね上記のようなことです。くわしくは測度、ルベーグ積分で検索すると良いでしょう。

回答No.6

graphaffine

補足を拝見しました。どうやらご質問の内容のピントがずれていたようですね。
そもそも、面積がなんだかわからないから教えてくれと言う話だったら、質問文の「線には面積がないのでなにも生まれないと思うんですが…」は、面積知らないのに、何でそんなことが言えるの？と言う話になるし。

「区間[a,b]上で定義された関数f(x)のグラフとｘ軸、及び直線x=a、x=bで囲まれた部分の面積とは、f(x)の区間[a,b]上での積分のことである」ということは、補足からすると納得されているんですよね。

問題は、積分と言ってもいろいろあることです。先の質問でレベル云々と言ったのに何も反応が無いので高校レベルで答えます。

関数f(x)が全ての有理点で不連続ならば、積分は存在しない。従って、面積も定義できない。

お礼

そうですね、少し…というよりかなりピントがずれていましたね。
すみません。

そうなんですか。高校だと定義できない…。
でも、面積は確かに存在しますよね？大学だと定義できるのか…。

測度論を勉強します。

ありがとうございました。

回答No.5

SariGEnNu

私は面積も体積も本質的に空間に数値を対応させる理論だと考えています。空間は線どころか点の集合と捉えることが常套手段ではないでしょうか？ただそれはともかく無限個集まると面積や体積を考えることができるのだと思います。

回答No.4

graphaffine

逆に質問しますが、何の面積のことを言っていますか。
対象がわからないで漠然と聞かれても答えようが無いです。

そこをあえて回答するならば
求めるレベルがわかりませんが、大学レベルで簡単に言えば面積とは積分です。
それから、差し支えなければ教えて欲しいのですが、
この質問が解決しないと何故困るのでしょうか。

補足

例えば定積分の問題で、ａ～b区間（０＜a,b，a＜b）を積分したい時、その関数が点ｃで不連続（a＜ｃ＜ｂ）だとすると、一気に面積を求めることができず、a～ｃまで、ｃ～ｂまでに分けて計算しなくてはならない。

しかし、この時線分に面積はないから面積は変わらない。

では、a～ｂ区間にある有理数の点全てで不連続だとすると、面積はどうなるんでしょうか？
無限に線分を引けるわけですから…面積は？

という事です。

もしa～b区間の無理数の点全てで不連続だとすると、面積は０ですよね。

それを全部説明できる面積の定義を知りたいのです。

長文ですみません。…よろしくお願いします。

回答No.3

sou999

線の集合と定義する場合、この場合の線には面積がありますね。（１ｍｍの線が１０ｃｍあれば１平方センチですし０．１ｍｍなら０．１平方センチ・・・・以下略）
観念的な線であれば外と中を区切る、という意味しかないので問題は区切られた内部になりますし。

回答No.1

HAL007

以前、線は点の集合ならば線は見えないと言う指摘をした人がいます。

a,b,c,dの角を持つ正方形で考える事にします。

a点からb点を結ぶ距離を底辺とし
高さはa又はbから　c又はdを結ぶ距離とし
底辺×高さと考えるしかないです。