面積についてです。

質問

数学の問題です。
わかるかたがおられたらよろしくお願いします。

数学の問題の質問です。

問題 ｙ＝e＾ｘとｘ軸、ｙ軸、ｘ＝１で囲まれる集合Aの「面積」を求めたい。

（１）Aの「面積」はどういう手順で定められるのか、極限の考え方を使ってのべよ。
（２）Aの「面積」を具体的に求めるためには（１）の定義だけでは不十分である。では何が必要か？
（３）Aの面積を求めよ。
です。もしよろしければお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

この問題については、積分を学習する最初に習うことで、教科書の積分のところの最初に説明が載っていたり、数学の積分の最初の授業で説明を受けているはずです。区分積分法ということで習っているはずです。もう一度教科書や授業のノートを見直して自分で考えてください。
おそらく、課題でしょうからここでの解答にはなじみません。
ネットで区分積分法（区分求積法）、リーマン積分などでネット検索してみてください。

下記URLなどが参考になるかと思います。
参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html
http://sur.ac/faq/sekibun.pdf
http://naop.jp/text/3/seki10.html
http://www.nakamura-sanyo.ed.jp/sanyo/yanase//math_app/suuti/se_hikaku/hikaku.html
http://www.cfv21.com/math/partmnsr.htm
など

回答No.2

sanori

こんにちは。

ｙ＝ｅ^x のグラフは、ｘ＞０（つまり、ｙ軸より右）の領域では増える一方で、
ｙ軸、ｘ＝１　とともに囲うことができません。

そして、ｘ≦０（つまり、ｙ軸より左）の領域では、
ｘが小さくなるほど（左に行くほど）ｘ＝１に近づきますが、
ｘ＝１と接したり交わったりすることなく、ｘ＝１を漸近線とします。
ですから、ｘ⇒－∞　という極限を考えます。
具体的には、
面積　＝　lim[a⇒-∞]∫[x=a⇒0]ｅ^x ｄｔ
です。
以上が（１）の答えになるんだと思います。

（２）は、よくわかりませんが、
「ａ⇒－∞　においては、ｘ＝１とｙ＝ｅ^x は接すると考え、
　面積を求める該当領域の左端は両者によって閉じられていると考える」
でしょうか。

（３）は簡単です。
面積　＝　lim[a⇒-∞]∫[x=a⇒0]ｅ^x ｄｔ
　＝　lim[a⇒-∞]｛ｅ^x ｝[x=a⇒0]
　＝　lim[a⇒-∞]｛ｅ^0　－　ｅ^a ｝
　＝　lim[a⇒-∞]｛１　－　ｅ^a ｝
　＝　１　－　０
　＝　１