有限加法族の定義で"φ∈Ω"は不要では?

質問

宜しくお願い致します。

有限加法族の定義で質問です。

有限加法族の定義は

集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωが
(i) φ∈Ω
(ii) A∈2^Ω⇒A^c∈2^Ω
(iii)A,B∈2^Ω⇒A∪B∈2^Ω
の時、2^Ωを有限加法族という。

だと思います。
(i)は
空集合の定義…空集合φは任意の集合の部分集合とする
から当然だと思うのですが。。。

集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωが
(i) A∈2^Ω⇒A^c∈2^Ω
(ii)A,B∈2^Ω⇒A∪B∈2^Ω
の時、2^Ωを有限加法族という。

だけでOKだと思うのですが如何でしょうか?

回答No.6

take008 · ベストアンサー

> 空族って存在するのでしょうか?

Ωの集合族とは，Ωのべき集合 Ｐ(Ω)＝{X|
Ｘ⊆Ω} の部分集合のことです。
部分集合ですから，当然空集合もあります。

族というのは，要素が集合だというニュアンスを込めているだけで，集合と同じものです。

お礼

有り難うございます。

>> 空族って存在するのでしょうか?
> Ωの集合族とは，Ωのべき集合 Ｐ(Ω)＝{X|
> Ｘ⊆Ω} の部分集合のことです。
> 部分集合ですから，当然空集合もあります。
> 族というのは，要素が集合だというニュアンスを込めているだけで，集合と同じもの
> です。
愚問でした。べき集合と族をごっちゃにしてました。
族は単に集合の集合なのですね。空族もありえますよね。

お騒がせ致しました。

回答No.5

take008

> 空族(元を持たない族)がどうして(ii),(iii)を満たせるのですか?
> 元が無いから(ii),(iii)も満たしようがないと思うのですが、、、

「A∈Λ⇒A^c∈Λ」は，「もし A があれば A^c もある」
ということで，無条件に何かがあるとは言っていません。

「ＰならばＱ」が正しくないのは「ＰなのにＱでない」ときだけです。
「Ｐでない」ときは「ＰならばＱ」は正しいので，
Λが空のとき，(ii)(iii)は成り立っています.

お礼

有り難うございます。

集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωの部分族Λが空族(Λ=φ)の時
(ii) A∈Λ⇒A^c∈Λ
(iii)A,B∈Λ⇒A∪B∈Λ
が成立つかは対偶
(ii)' A^c∈/Λ ⇒ A∈/Λ
(iii)' A∪B∈/Λ ⇒ A∈/Λ or B∈/Λ
を示せばいいのですね。
(ii)',(iii)'ともΛ=φから自動的に成立ちますよね。納得です。

所でまた一つ疑問なのですが
空族って存在するのでしょうか?
族とは集合の部分集合からなる集合ですよね。たとえ空集合の族であっても
φ∈2^φ
というふうに元を持ちますよね。
元を持たない族ってありえるのでしょうか???

回答No.4

endlessriver

ちょっと議論と外れるかもしれませんが。
有限加法族Λの定義はとても簡単ですよね。
質問者さんが「の時、2^Ωを有限加法族という。」と言っているところから＃２さんの指摘のように「2^Ω」の記述を勘違いなさっているように思います。質問者さんはΛのつもりで使っているような。

すると次のように推察します。
任意の集合Ａに対してΦ⊂ＡとΦ∈Λを勘違いされている用にも思えます。
空集合の定義はそんなにめんどうだったか？複雑に考えすぎなのでは？

お礼

どうも有り難うございました。
おかげさまで理解できました。

回答No.3

take008

No.2さんの回答でいいのですが，一点だけ間違っています。
> Λ={A,A^c}とすると、条件(ii),(iii)は満たします。
A∪A^c＝Ω なので(iii)を満たしていません。

(ii)(iii)を満たし,(i)を満たさないΛは空族だけです。
すなわち，条件(i)は「Λが空でない」ことを主張しているのです。
Φ∈Λ ⇒ Λ≠Φ は明らか
Λ≠Φ ⇒ A∈Λ がある ⇒ A^c∈Λ ⇒ Ω=A∪A^c∈Λ ⇒ Φ=Ω^c∈Λ

お礼

有り難うございます。

「集合族2^Ωが」→「集合族2^Ωの部分族Λ」
とすればいいのですね。

集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωの部分族Λが
(i) φ∈Λ
(ii) A∈Λ⇒A^c∈Λ
(iii)A,B∈Λ⇒A∪B∈Λ
の時、ΛをΩ上の有限加法族という。

ですね。分かってきました。

所でよく分からないのですが

> (ii)(iii)を満たし,(i)を満たさないΛは空族だけです。
空族(元を持たない族)がどうして(ii),(iii)を満たせるのですか?
元が無いから(ii),(iii)も満たしようがないと思うのですが、、、

回答No.2

adinat

やっぱり定義がおかしいです。加法族とは何かというと、集合Ωの部分集合の特別な集まりのことです。もう少し詳しくいうと、ベキ集合（つまりオΩの部分集合全部）2^Ωの部分集合の特別なもののことです。

定義を書き直すと、
集合Ω(≠φ)の集合族Λ(⊂2^Ω)が
(i) φ∈Λ
(ii) A∈Λ⇒A^c∈Λ
(iii) A,B∈Λ⇒A∪B∈Λ
の時、ΛをΩの有限加法族という。

が正しいです。Λは“Ωの部分集合”の集まりです。したがって、Ωの部分集合としての空集合φは含まないこともありえます。実際たとえば、Aを空でもΩ全体でもないΩの部分集合として、Λ={A,A^c}とすると、条件(ii),(iii)は満たします。確率論、測度論等の兼ね合いで、空集合も加法族に入れるべきですので、したがって(i)は必要です。自動的に出てきたりはしません。

ついでに言っておきますが、2^Ω自体も確かにΩの部分集合族になっていますが、この中には当然φは含まれています。また条件(ii),(iii)も自明に成立します。なんていったって、すべての部分集合が含まれているのだから、(ii),(iii)が成り立たないわけがないのです。つまりΛとして2^Ωをとった場合は、(i)だけではなく、(ii),(iii)も成り立ち、したがって2^Ωは有限加法族なのです。ただしそれは定義ではなく、定理です。あくまでたまたまΛ=2^Ωとしたから成立しただけです。

お礼

どうも有り難うございました。
おかげさまで理解できました。

回答No.1

kabaokaba

加法族の定義が違いませんか？

>(i) φ∈Ω

ではなく，
「(i) φ∈2^Ω」のはずです

＃Ωは集合なので，空集合φが
＃Ωの元であることはありえませんよ．
＃単なる誤植でしょう

ちなみに「(i) φ∈2^Ω」であることが
必要なのは問題ないですよね

お礼

>「(i) φ∈2^Ω」のはずです
失礼しました。このように書きたかったのです。

> ちなみに「(i) φ∈2^Ω」であることが
> 必要なのは問題ないですよね
えっ!必要なのですか?
空集合の定義…空集合φは任意の集合の部分集合とする
と
族の定義から自動的に「(i) φ∈2^Ω」は言えてしまうと思うのですが…