台形の面積

質問

聞きたいのは、台形の面積を求める公式を証明する手順です。
　証明の意味的には全く問題ないだろうということを前提に、自分が
小学校で習った方法についての疑問を投げます。

　自分が習った方法では、同じ台形をもう一つ用意し、180度回転移動
させたものをひっつけると、あら平行四辺形に早代わり！これで面積が
出せるから、元の台形はその半分だね、というもの。

　しかし、平行四辺形は台形の特殊系、包含関係で言えば、
（∀平行四辺形∈（台形の全体集合））なわけですから、台形の面積を
知るために、平行四辺形の面積を求める公式を利用するのは、定義的な
方向性と逆行しているように思います。確かに証明的には何の問題もな
いですし、一般の台形よりも、特殊な平行四辺形の方から入るのも納得
できますが、しかしそれを厳密な証明として授業で教えるのはどうかと
思います。感覚的な問題でしょうか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

「定義的な方向性」というのが良く分かりませんが, 「一般的な場合について直接証明するのは面倒なので特殊な場合の結果を使う」というのは別段問題となることはないですね.
ところで, 「厳密な証明として授業で教えるのはどうかと思います」というのは複数の解釈が可能なんですが,
・そもそも「厳密」かどうかが疑問だ
・「厳密な証明」であることに疑問はないが, このような証明方法を授業で示すのは問題だ
のどちらなんでしょうか.

お礼

ご回答ありがとうございます。
どこかで書こうとは思っておりましたが、私が舌足らずだった部分を
見事に指摘して頂き、恐縮です。
私が疑問に思ったのは、後者の方です。
既述のように、平行四辺形は台形の特殊系ですから、私の考えによれ
ば、台形（一般論）を勉強してから、平行四辺形（特殊な場合）に移
るのが、正しい方向性ではないのかと考えています。
勿論、これは授業に限った方向性で、研究者は研究のしやすい所から
入って行けば良いものと思います。
話は少し逸れましたが、台形の面積を知る前に、平行四辺形の面積を
知らなければなないような授業の順序について、疑問を持っているの
です。当然、台形の面積は対角線一本で三角形の面積に帰着できるの
ですから、まずはその方法だけを教えるのが良いのではないでしょう
か？

回答No.6

pochy1

#2です。
ということは、三角形も直角三角形から教わって、そのあとに一般的な三角形の場合は、
垂線で切って二つの直角三角形にしてから合体すればいいという教え方も問題ということになりますね。
要は、厳密な形式論よりも子供がわかりやすい教え方かどうかではないでしょうか。

補足

何を言いたいのかは分かりますが、それも論点と違います。
要するに、もっと単純な解法があって、さらにその解法を見ると、
論理的にも非常にスッキリしている。その論理の部分を授業で説明
するいつ要はないが、教える側はきちんと把握していなければダメ
だということです。

　三角形の場合は直角三角形から習うと仰いましたが、ではあなた
は、図形の面積をどこから習いましたか？面積の基本は長方形とい
うことで異論はないと思います。私が異論としたいのは、小学校で
図形をならった時、台形と平行四辺形ではどちらを先にならうか、
という点がと、平行四辺形を台形より先に学ぶべきではないという
点です。その根拠として包含関係を述べましたが、これは台形と平
行四辺形の場合を言っているのであって、その他の図形に関しては
何も言ってません。
　そういう事を言い出せば、ではなぜ図形の授業よりも代数学を究
めないのか？ユークリッド公理系を習わずに、何が直角だ!?などと
いう論地にも成りかねません。当然ですが、そんなことまでは言っ
たつもりはありません。

　私の書き方があまりに舌足らずだったようなので、これで質問を
打ち切らせて頂きます。後日、内容を吟味してから再度投げます。

回答No.5

noname#221368

ちょっと揚げ足を取るようで申し訳ないのですが、{平行四辺形}⊂{台形}の伝で行くならば、{三角形}は{四角形}の特殊な場合、と言えなくもない気がします。そうすると、

＞当然、台形の面積は対角線一本で三角形の面積に帰着できるのですから、まずはその方法だけを教えるのが良いのでは？

という方法は、「特殊から一般へ」にならないでしょうか？（やっぱり感覚の問題である気もします）。

　いきなり一般を考えると難しいが、自明になるまで特殊へ分解して、そこから組織的に積み上げて一般化する、というのは数学の本筋だと思えます（我田引水ですか？）。そのような戦略を示すのに、平行四辺形→台形は意味があると感じます（個人的意見です）。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

「長方形は並行四辺形の仲間」
「並行四辺形は台形の仲間」
ですので
「台形２つを使って並行四辺形に変形する」
「並行四辺形の斜めの部分を三角形に切り取って反対側にくっ付けて長方形に変形する」
と言う操作で「長方形を求める式÷２」つまり「（上底＋下底）×高さ÷２」と言う式が導けます。

もし「並行四辺形は台形の仲間ではない」と言うなら「台形２つを使って並行四辺形に変形する」と言う操作そのものが意味を為さない操作になります。

表面的に「定義的な方向性に逆行しているように見える」としても、定義を逆から見れば「並行四辺形は台形の仲間である」からこそ「台形２つを使って並行四辺形に変形する事が出来る」のです。

むろん「長方形は並行四辺形の仲間である」ので「並行四辺形の斜めの部分を三角形に切り取って反対側にくっ付けて長方形に変形する事が出来る」のです。

＞感覚的な問題でしょうか？
そうです。子供に教えるには「感覚的な事」つまり「直感的な事」が重要です。

何も見せない状態で子供に「台形の公式」を見せても、子供は「？？？」と思うだけです。

「色を塗った紙で出来た台形をパズルのように並び替えてたら、台形が長方形になった」と言う「直感的に判る事実」を目で見せてから「公式で書くと、こうですよ」と教えるから「子供が納得する」のです（「子供が理解する」ではない事に注意。「理解」は「納得したあと」にさせれば良い）

で「特殊系、包含関係、集合理論、証明」なんてのは、高校になってから教えれば良いのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私としては、台形を対角線で切れば、既に求積方法が既知で
ある三角形2つに分けられるという良い方法があるのに、ど
うして平行四辺形などを持ち出すのか、というところから今
回の疑問を持ったのです。
本題に出した平行四辺形を利用する解法がどうとか言ったの
は、小学生（今は中学生の過程なんでしょうか？）に対して
ではなく、それを教える先生や、教育課程を作られている偉
い人への疑問だとお考え下さい。
P.S.「感覚的な問題」と言ったのは、このような事に疑問を
　　持つのは私の個人的な感覚だけの問題なのか？という意
　　味です。

回答No.2

pochy1

平行四辺形の面積を教わった時に、
底辺と垂直な線で切って左右を入れ替えると長方形になる
　　→面積は縦×横
　　→平行四辺形の面積は横（底辺）×縦（高さ）
という説明を受けました。これを理解できていればいいのでは
ないでしょうか？
丁寧に教えるなら、平行四辺形の面積がなぜ底辺×高さなのかを
復習的に教えればいいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
下の回答への返信でも書きましたが、それは質問の
意図とは違います。申し訳ありません。

回答No.1

HiYoKoNoK

私のイメージでは、台形に対角線を入れると、上底を底辺とする3角形と下底を底辺とする3角形ができるので、
(上底×高さ÷2)＋(下底×高さ÷2)
＝(上底＋下底)×高さ÷2
と、いう感じですが、いかがでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
その証明はそれで良いのですが、私の質問の意図は、
質問文に乗せた証明法に疑問を感じるのは変か？とい
うものですので、少し論点が違うと思います。