楕円の接線

質問

x^2/9+y^2/4=1の(x1,y1)における接線の方程式を求めよ。

という問題です。もちろん公式は使ってはいけないと思います。やり方はいろいろありますが、x1≠±3として、x^2/9+y^2/4=1にy=mx+nを代入していくやり方です。代入して整理した式が
(9m^2+4)x^2+18mnx+9(n^2-4)=0・・・(1)となり、判別式d/4より、9m^2+4=n^2と出てきました。ここからが分かりません。「(1)の重解がx1で、x1=-9m/n」とあります。

なぜでしょうか。結構詳しくというか、分かりやすく教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

解と係数の関係から

(9m^2+4)x^2+18mnx+9(n^2-4)=0

の2解の和(重解なので2x1)は

2x1=-18mn/(9m^2+4)=-18mn/2n^2=-9m/n

ですね。

ところで質問者さんは微分は勉強していると思いますので

x^2/9+y^2/4=1

をxで微分してみると

2x/9+2yy'/4=0

y'=-4x/9y

(x1,y1)を代入すると接線の傾きは-4x1/9y1　これが(x1,y1)を通るので

y=-4x1/9y1*(x-x1)+y1
9y1y+4x1x=4x1^2+9y1^2
x1x/9+y1y/4=x1^2/9+y1^2/4=1　 ∵(X1,Y1)は楕円上の点であるため。

で楕円の接線の方程式の公式になります。

回答No.4

tatsumi01

もしかとは思いますが、下記のことをご質問でしょうか。

直線 y=mx+n が楕円に交わっている状況を考えます。
この交点は、y=mx+n と x^2/9+y^2/4=1 を連立させて、２次方程式を解けばよいことは当然分かっておられると思います。

２点で交わっている場合は、２次方程式の実根が２個あります。したがって判別式 D>0。
n を少しづつ大きくして行くと、２個の交点が近づいてきて、ついには一致します。このとき、２次方程式の実根は重根となります。この状態が y=mx+n が楕円の接線となっている状態です。そのとき判別式 D=0。
さらに n を大きくすると、直線は楕円とは交わりません。そのとき、２次方程式の根は複素数となります。判別式 D<0。

したがって、直線が接線になるためには D=0 が必要十分となります。（上で n を少しづつ大きくして行きましたが、少しづつ小さくしても構いません。）

回答No.3

lick6

判別式の性質として
Ｄ>０ならば、異なる２つの実数解を持つ(異なる二点で交わる)
Ｄ=０ならば、一つの重解を持つ(一点で接する)
Ｄ<０ならば、異なる二つの虚数解を持つ(実数解を持たない、つまり交わらない)
この場合楕円の式に y = mx + n を代入して x の二次式がでてきますね。
(x1, y1)でこれらは接しているので、 x = x1 のとき D = 0 になるというのを使っているのです。
x1　は重解ということを考えればすでにあげられているように求めることができます。

回答No.1

kakkysan

２次方程式　
(9m^2+4)x^2+18mnx+9(n^2-4)=0・・・(1)
を解の公式を使って解くと思ってください。（その重解がx1）その際　D/4＝０ですから
x＝-9mn/(9m^2+4)　これの分母に9m^2+4=n^2を代入すれば=-9m/nとなります。（質問の回答はここまでで良いですか？）

ちなみにこの後、接線の方程式にたどり着くまでにはまだまだ大変な計算をしなくてはいけません。頑張ってください。
出てきた式は公式として覚えておいた方がよいでしょう。