２点間の距離の公式と点と直線の公式の関係

質問

xy平面上に放物線y=x^2と点P(0,b)を考える。ただしb＞0とする。点X(t,t^2)がこの放物線上を動くとき線分BXの長さの最小値を求めよ。」という問題なのですが、解答では、２点間の距離の公式から立式して解いているのですが、私は、点X(t,t^2)における接線を求めて、その直線と点において、点と直線の公式を使って求めようとしましたが、どこが行けないのでしょうか、確かに回りくどいですが、まちがってはいませんよね。点と直線の公式では、
BX^2={(t^2 + b)^2} / 4t^2 + 1
になってしまって、２点間の距離の公式の結果と違ってしまいました。よろしくお願いします。

回答No.1

naorinrin · ベストアンサー

図が書けないのでうまく説明できないかもしれませんが・・・。
点Xにおける接線とPとの距離を求める際に、点と直線の公式を使った場合、点Pと点Xを結ぶ直線は、公式が利用できるとすると、接線にとっては垂線になっていないといけませんよね。でもこの場合、垂直に交わるように直線を引くとそのときの交点は放物線上にあるとは限らなくなってしまうでしょう。

点と直線の距離の公式は、確かに最小の距離を求めている事になりますが、この問題の場合、点Xとの距離ではなくなってしまうので、答えがずれるのでは？と思いますがいかがですか？

お礼

ご回答くださってありがとうございます。間違いの元がわかりました。なるほど、点と直線の公式では、点Pの接線と点Xの距離を表すので、確かに接線と垂直になるところだったら、接点である点Pが垂直になるとは限らないですよね。どうもありがとうございますした。

回答No.2

newtype

s-wordさん、違うよ。
あなたのやり方だと、接線と点Ｐとの間の距離（最小値）を求めることになる。
このとき交わる点をＱとすると、△ＰＱＸより、ＰＸとＰＱは明らかに異なる。
s-wordさんはＰＱの長さの最小値を考えている。過程が違うのは当たり前。

また「直感」でＰＸ＝ＰＱとなるときが最小値となると考えられますが，これを計算するのは骨が折れるので、計算ミスの多い私はやりたくありません。

以上

お礼

＞s-wordさんはＰＱの長さの最小値を考えている。過程が違うのは当たり前。

ご回答してくださってありがとうございます。まるっきり誤解していました。間違いを教えてもらって良かったです。

＞また「直感」でＰＸ＝ＰＱとなるときが最小値となると考えられますが，これを計算するのは骨が折れるので、計算ミスの多い私はやりたくありません。

さしあたって点と直線は間違いだと覚えておきます(^^)
あまり深く考えないようにします。お返事ありがとうございました。