2次曲線の2接線のなす角

質問

以下の問題についての質問です。

平面上の点P（a,b）〈a＾２＞b〉から放物線y=x＾2に２つの接線をひいたとき、２接線の間の角がπ／２となるような点Pの描く軌跡を求めよ。

この問題の場合y=m（x-a）＋bと直線をおき、判別式をとり、解と係数の関係を利用するのが普通だと思いますが、2接点をおいて、公式から接線をだして、これが点Pを通り、垂直の条件から、自分でおいた2接点を消去するという解法がうまくできません。この解法は不可能なのでしょうか。

回答No.2

info22

>　2接点をおいて、公式から接線をだして、
>　これが点Pを通り、
>　垂直の条件から、自分でおいた2接点を消去する
> という解法がうまくできません

> 2接点をおいて
(m,m^2),(n,n^2) (m<0<n)

> 公式から接線をだして、
y+m^2=2mx …(A)
y+n^2=2nx …(B)
(m≠n)

> これが点Pを通り、
b+m^2=2ma …(C)
b+n^2=2na …(D)

> 垂直の条件から、
2m*2n=-1
mn=-1/4　…(E)

> 自分でおいた2接点を消去する
(C)-(D),m≠nから
　m+n=2a …(F)
(E),(F)から解と係数の関係からm,n(m<n)は次の2次方程式の解
　t^2-2at-(1/4)=0
m=a-√(a^2+(1/4)), n=a+√(a^2+(1/4)) …(G)

(A),(B)の交点(a,b)を求めると
　a=(m+n)/2=-1/(8n)+n/2 (n>0)
　　0<n<∞で　-∞<a<∞
b=mn=-1/4

(a,b)を流通座標(x,y)に置き換えて
　y=-1/4 (xはすべての実数)

回答No.1

mister_moonlight

＞この解法は不可能なのでしょうか。

接点をＡ（α、α＾2）、Ｂ（β、β＾2）、α≠βとする。
2つの接線は、（微分して）y＝2αx-α＾2、y＝2βx-β＾2であるから、連立するとそれが交点Pてある。
結局、2a＝α＋β、b＝αβ　‥‥(1)
∠ＡＰＢ＝90°からピタゴラスの定理より、（ＡＢ）＾2＝（ＡＰ）＾2＋（ＢＰ）＾2　‥‥(2)
（ＡＢ）＾2＝（α-β）＾2*{1＋（α＋β）＾2}、（ＡＰ）＾2＝（α-β）＾2*（α＾2＋1/4）、（ＢＰ）＾2＝（α-β）＾2*（β＾2＋1/4）であるから、(2)に代入すると、1＋（α＋β）＾2＝α＾2＋β＾2となる。
後は、この式に(1)を代入して軌跡の方程式を求め、同時に軌跡の限界を定めるだけ。