数列の極限

質問

たとえば(4^n - 1)/(3^n + 5)
という問題だったら、3^nで割り込んでったら(∞・1)/1
で∞に発散とでるけれど、もし4^nとかで割っちゃったら、分母が(3/4)^n ＋5/(4^n) で0＋0＝0に収束という誤答になってしまいます・・・。
基本は分母のところの一番大きい指数が付いているところの数で割ればいいようなんですが、結局分子、分母が0になるのを避けるためなんでしょうか？
というか、4^nですべて割っても式としては間違えではなさそうなのでつい、こういうことをやってしまいそうです。　0にならないように出来る場合はしないようにするルールでもあるのでしょうか・・・。おしえてくださいお願いします！

回答No.1

shion121 · ベストアンサー

＞もし4^nとかで割っちゃったら、分母が(3/4)^n ＋5/(4^n) で0＋0＝0に収束という誤答になってしまいます・・・。

「分母」が０になるんですよね？分母が０は収束でしょうか？

4^nで割った場合、(1-1/(4^n)) / ((3/4)^n ＋5/(4^n))となり、n→∞で1/0となり、これは、無限大に発散しますよね。

「分母にゼロがきて、分子が収束した数値だった場合、無限大になる」ということはＯＫでしょうか？

＊分からなければ
1/0.1 = 10
1/0.01 = 100
1/0.001 = 1000
1/0.0000000000000000000000000...1 ≒ 1/0 →∞
と考えるとよいでしょう

さて、
(4^n - 1)/(3^n + 5)
の分母分子を、4^nか3^nで割るというのは、０／０や、∞／∞というような、どういった値になるかわからない、「不定形」という形を避けるために使います。

テクニックとしては、分母分子で一番大きくなる項で割ると覚えていると楽でしょう。

他の例としては
lim[n→∞]( 2n^2 + n - 3 )/( 3n^2 + 2n + 1)

ならば、同じくこのままnを無限大にしたら、∞／∞という不定形になってしまいますが、n^2で分母分子を割ると2/3という答えを求めることができます。

お礼

なるほどよく分かりました！　不定形を避けるためという意味だったんですね。１/０ってのは∞に発散でしたね(^^;　1/0.00000000・・・の例でよく分かりました(^^　ありがとうございました!!