代数入門について

質問

(1)a,b,c,dを(a,b)=1,(c,d)=1を満たす正の整数とする。このとき、a/b＋d/cが整数であれば、b=cであることを示す。(2)a,b,cを整数とするとき、(a,b)=1ならば、(ac,b)=(c,b)を示す。(3)a,bを整数とするとき、(a,b)=dとおけば、ある整数a',b'があってa=a'd,b=b'd,(a',b')=1と表せる。このとき、[a,b]=a'b'd=ab'=a'bであることを示す。この(1)～(3)の問題は証明できるのでしょうか？？

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

(1)
(a/b)+(c/d)=k(kは整数)と書ける。
通分して
(ad+bc)/(bd)=k
ad+bc=bdk…※
※よりad=b(dk-c)
よってadはbで割り切れる。
aとbは互いに素だから、dがbで割り切れる。
よってd≦b…◎
再び※より
bc=d(bk-a)
よってbcはdで割り切れる。
cとdは互いに素だから、bがdで割り切れる。
よってb≦d…●
◎と●よりb=d
よってb=dが示された。

(2)
(c,b)=d
(ac,b)=eと置きます。

b=db',c=dc'(b'とc'は互いに素な整数)ですから
ac=d*a*(c')、b=d*b'
よってdはacとbの公約数

公約数≦最大公約数だからd≦e…△

b=eb"、ac=ef(b"とfは互いに素な整数)です。

eとaが共に1より大きな整数kで割り切れると仮定する。
a=k*(a/k)、b=k*(e/k)*b"
ですから、aとbが1より大きい公約数kを持つことになり
aとbが互いに素であることに反し、不合理
よってeとaは互いに素です。…▲
ac=efよりacはeで割り切れますから
▲よりcがeで割り切れます。…■
a=ea"だから、aもeで割り切れます。
したがって■より、eはaとcの公約数です。

公約数≦最大公約数だからe≦d…▽

△と▽よりd=e
よって題意は示されました。

(3)
[a,b]=as=bt(ただしs,tは正の整数)と書けます
両辺をaとbの最大公約数dで割ると
a's=b'tとなります。
a'sはb'で割り切れます。
a'とb'は互いに素だからsがb'で割り切れます。
s=b'r(ただしrは正の整数)と書けます。
[a,b]=as=(a*b')*r=(a'b'd)*r

よって[a,b]はa'b'dで割り切れる
よってa'b'd≦[a,b]…◎
となる。

a'b'd=a*b'=b*a'だからa'b'dはaとbの公倍数
最小公倍数≦公倍数だから
[a,b]≦a'b'd…●

●と◎より[a,b]=a'b'dとなることが示された。

回答No.2

taktta

dがbで割り切れる。
よってd≦b…◎
は等号が逆ですね、それだけ。