線形代数について

質問

標準形についてなんですが、４個の変数a,b,c,dの2次形式5a・a-2√2ac+3b・b+4c・c+6d・dの標準形を求めよという問題なのですが例題を見てもわかりません、お願いします。・は掛けるを意味しています。a・aはaの2乗という意味です。

回答No.1

sokamone · ベストアンサー

この問題の解法の大まかな流れを言います。

まず、その２次形式の表示は、ある座標(a,b,c,d)に関する表示です。
それは、行列の掛け算法則を使えば、次のように書けます：

5a・a+3b・b+4c・c+6d・d-2√2a・c =（a,b,c,d)Ａ[t^(a,b,c,d)]　---(1)

ただし、Ａは４×４対称行列

　　　　　５　　０　‐√２　０
　　　　　０　　３　　０　　０
　　　　‐√２　０　　４　　０
　　　　　０　　０　　０　　６

のこととしました。

この対称行列Ａは、ある直交行列Ｐによって対角化できます。
(このことは一般論です。これの証明は長くてとてもここで説明する気に
なりません。)　つまり、Ａの固有値を重複も込めて、α、β、γ、δとし、
それぞれに属する長さ１の固有ベクトルをｐ1、ｐ2、ｐ3、ｐ4とするとき、
必要ならこれらを直交化しておいて、直交行列Ｐを、

Ｐ＝[ｐ1、ｐ2、ｐ3、ｐ4]

としてつくる。このとき、

(t^Ｐ)ＡＰ＝
　　　　　　　α０００
　　　　　　　０β００
　　　　　　　００γ０
　　　　　　　０００δ

という式が成り立つ。右辺の対角行列を〈α,β,γ,δ〉と書くことにする。

そこで、新しい座標系(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)を、
(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)=(ａ,ｂ,ｃ,ｄ)Ｐ
で定めると(つまり、座標(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)と座標(ａ,ｂ,ｃ,ｄ）との間の対応を
与えた）、式(1)は、つぎのようになる：

(a,b,c,d)Ａ[t^(a,b,c,d)]＝(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)(t^Ｐ)ＡＰ[t^(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)]
　　　　　　　　　　　　　＝(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)〈α,β,γ,δ〉(ｘ,ｙ,ｚ,ｗ)
　　　　　　　　　　　　　＝αｘ^2＋βｙ^2＋γｚ^2＋δｗ^2

こうして、座標の直交変換をすることで、標準形が得られる。

だいたいこんな感じでこの問題は解きます。もっと詳しく知りたければ、
具体的にこの部分がわからないということを言ってください。

お礼

ご丁寧な説明ありがとうございました。解法の流れはなんとなくわかりました。Aの固有値は３と６でどちらも重解ですよね。α、β、γ、δが３、３、６、６ということですよね。(a,b,c,d)Ａ[t^(a,b,c,d)]＝3ｘ^2＋3ｙ^2＋6ｚ^2＋6ｗ^2ということで直交変換すればよいのでしょうか？

回答No.2

sokamone

＞(a,b,c,d)Ａ[t^(a,b,c,d)]＝3ｘ^2＋3ｙ^2＋6ｚ^2＋6ｗ^2ということで
＞直交変換すればよいのでしょうか？

はい、標準形はその形になります。ただ、どのように座標の直交変換をしたのかを
明示しなければならないと思いますので、そのときは、No.1で示したように、
固有値３と６に対する固有ベクトル(この場合、属する固有ベクトルで1次独立な
ものがそれぞれ２つずつとれる）を直交するものをそれぞれ２つずつとって、
p１,p２；p３,p４とし、直交行列ＰをNo.1のように定義して、座標の変換の式を
提示しないといけません。

また、わからないことがあれば、なんなりと。