代数学の環の問題です

質問

有理整数環Zにおいて、a,b,cはZに属するとする。このとき、((a)+(b))共通((a)+(c))=(a)+((b)共通(c))が成り立つことを示せ。
という問題です。
教科書を見てもどのように証明を進めていけばよいのかわかりません。
文系の学生でもわかるように教えてください。

回答No.4

koko_u_u

Z が単項イデアル整域であることが、本質的に必要なのかを考えて補足にどうぞ。

回答No.3

yoikagari

s,tの最大公約数をgcd(s,t)、s,tの最小公倍数をlcm(s,t)と書くことにする。
実数x,yの大きい方をmax(x,y)、小さい方をmin(x,y)とおく
(max(x,x)=x、min(x,x)=xであることに注意！)

※より
(a)+(b)=(gcd(a,b) ),(a)+(c)=(gcd(a,c) ),(gcd(a,b) )∩(gcd(a,c) )=(lcm(gcd(a,b),gcd(a,c) ) )
(b)∩(c)=(lcm(b,c) ),(a)+(lcm(b,c) )=(gcd(a,lcm(b,c) ) )と書けるから
求める式は(gcd(a,lcm(b,c) ) )=(lcm(gcd(a,b),gcd(a,c) ) )となる。
したがって、gcd(a,lcm(b,c) )=lcm(gcd(a,b),gcd(a,c) )が示されれば
問題の((a)+(b))∩((a)+(b))=(a)+((b)∩(c))は示される。

gcd(a,lcm(b,c) )=lcm(gcd(a,b),gcd(a,c) )であること
証明ここから
a,b,cのいずれかを割り切る素数pを任意にとる
aのpに関する指数をv、bのpの関する指数をk、cのpに関する指数をhとする。
(要するにvは、aはp^vで割り切れるが、p^(v+1)で割り切れない整数となる。k,hも同様の意味である。)

gcd(a,lcm(b,c) )のpに関する指数はmin(v,max(k,h) )
lcm(gcd(a,b),gcd(a,c) )のpに関する指数はmax(min(v,k), min(v,h) )

よって、min(v,max(k,h) )=max(min(v,k), min(v,h) )を示せばよい。
v≧k≧hのとき
min(v,max(k,h) )=min(v,k)=k，max(min(v,k), min(v,h) )=max(k,h)=k
v≧h≧kのとき
min(v,max(k,h) )=min(v,h)=h，max(min(v,k), min(v,h) )=max(k,h)=h
k≧h≧vのとき
min(v,max(k,h) )=min(v,k)=v，max(min(v,k), min(v,h) )=max(v,v)=v
h≧k≧vのとき
min(v,max(k,h) )=min(v,h)=v，max(min(v,k), min(v,h) )=max(v,v)=v
k≧v≧hのとき
min(v,max(k,h) )=min(v,k)=v，max(min(v,k), min(v,h) )=max(v,h)=v
h≧v≧kのとき
min(v,max(k,h) )=min(v,h)=v，max(min(v,k), min(v,h) )=max(k,v)=v

いずれにしても、min(v,max(k,h) )=max(min(v,k), min(v,h) )が成り立っている

これがa,b,cのいずれかを割り切る任意の素数で成り立つから
gcd(a,lcm(b,c) )=lcm(gcd(a,b),gcd(a,c) )であることがいえた。

したがって、問題の((a)+(b))∩((a)+(b))=(a)+((b)∩(c))が示された。

回答No.2

yoikagari

(a)はaで生成される単項イデアルだとします。
求める式は((a)+(b))∩((a)+(b))=(a)+((b)∩(c))ですよね。

以下回答します。

まず、Zが単項イデアル整域であることを示す。

Zが単項イデアルであることの証明…○
「○の証明ここから
Zの(0)ではないイデアルLを任意にとる。
Lの正の元のうち、最小のものをeをとる。
L=(e)となることを示す。

イデアルの定義よりL⊇(e)は明らかである
よって、L⊆(e)を示す。
Lの元nを任意に取る
nをeで割り、商をq、余りをrとする
n=eq+r，0≦r＜e
ここで、r＞0と仮定する
r=n-eq∈I、0＜r＜eだから、
rはeより小さな正のLの要素となる。
これは、Lの正で最小の元がeであることに反する。
よって、r=0
したがってnはeで割り切れるからh∈(e)
すなわち、L⊆(e)がいえた。

以上よりL＝(e)がいえ、Zが単項イデアルであることがいえた。
○の証明ここまで」

整数s,tを任意に取る(ただしs≠0あるいはt≠0となるようにとる)
gをs,tの最大公約数、mをs,tの最小公倍数とする。
(s)+(t)=(g),(s)∩(t)=(m)と書ける…※

gはs,tの最大公約数だから整数s'とt'を用いて
s=g*s'，t=g*t'と書ける。

「※の証明ここから
(s)+(t)はイデアルである
○よりZは単項イデアル環だから
(s)+(t)=(d)を満たす正の整数dが存在する。
s∈(s)⊆(d),t∈(t)⊆(d)だから、d|s，d|tが成立する。
したがって、dはs,tの公約数である
公約数≦最大公約数だからd≦gである
d∈(s)+(t)だからd=si+tjをみたす整数i,jが存在する
したがってd=g{(s')i+(t')j}だから、dはgで割り切れる。
よってg≦d
以上より、g=dがいえる
よって、(s)+(t)=(g)がいえた。

(s)∩(t)はイデアルである
○よりZは単項イデアル環だから
(s)∩(t)=(f)を満たす正の整数fが存在する。
f∈(f)⊆(s),f∈(f)⊆(t)だから、s|f，t|fが成立する。
したがって、fはs,tの公倍数である
公倍数≦最小公倍数だからf≦mである
m∈(s)∩(t)=(f)だからf|mがいえる
よってf≦mがいえる
以上より、f=mがいえる
よって、(s)∩(t)=(m)がいえた。
※の証明ここまで」

回答No.1

koko_u_u

記号の意味がわからん。
(a) とかは a から生成される単項イデアル？

補足

はい。(a)はaから生成される単項イデアルのことです。