級数の和で表現できない数も存在するのですか。

質問

πやeも級数の和で表現できるならばすべての数は級数の和で表現できるのでしょうか。

回答No.5

noname#108554 · ベストアンサー

πやeは超越数としては特殊なほうで、大部分の超越数は
アルゴリズム的に表現するのは不可能です。
というのは、アルゴリズムは可算個しかないですが、
超越数は非可算個存在するからです。

「級数の和で表現」というのをどういう意味で捉えるかによりますが、
Σ_n(0or1をランダムに生成)/2^n
の形でもよいなら、「すべての数は級数の和で表現でき」ます。
しかし、何らかのアルゴリズムfを用いた
Σ_n f(n)/2^n
というタイプの実数は可算個しかありません。

お礼

超越数というものは、霧のかなたのものと思っていますが、ご教示で何か納得できるように思いました。もちろん現段階では御内容を全く理解できませんが、勉強の励みにさせていただきます。

回答No.4

graphaffine

全ての数とは、全ての実数と言う意味ですか。
とりあえずそういうことにします。

任意の実数αを取るとき、
α＝α＋０＋０＋・・・・

右辺は無限級数です。従って、任意の実数は無限級数で表わせます。

お礼

ご教示ありがとうございます。

回答No.3

quantum2000

問題の意味が判りにくいのですが、

Ｎｏ．２さんのおっしゃるとおりで、
πやeが級数（の和）で表現できてもできなくても、
すべての数は級数（の和）で表されますよね。
例：√２ ＝ １＋４／１０＋１／１００＋４／１０００＋２／１００００＋・・・

出題の趣旨がもう少しよく判ると、判断できますが・・・

お礼

ご教示どうもありがとうございます。勉強いたします。

回答No.2

rabbit_cat

当たり前ですが全ての実数は無限級数で表せます．
π = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 + 5/1000 + ...
e = 2 + 7/10 + 1/100 + 8/1000 + 2/1000 + ...
ですね．

お礼

ご教示ありがとうございます。

回答No.1

Sbacteria

フーリエ解析　というキーワードで調べてご覧なさい。
すべての関数が三角関数の級数の和で表現できます。

お礼

早速ご回答ありがとうございました。勉強したいと思います。