ラマヌジャンのタクシー数に関する級数

質問

3乗数の和で2通りに表される最小の数は、
1729=12^3+1^3=10^3+9^3

⇔

級数(Σ[n=1,∞]x^n^3)^2
の係数でが2である項の最小の次数は1729

ところで、Σ[n=1,∞]x^n^3という級数に関して、研究されていることとか、性質とかあるのでしょうか？
検索してみましたが見つかりませんでした。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

Σ[n=1,∞]x^(n^3)　という級数自体にはあまり興味深い性質はなく、そのため目立った研究成果もないと思います。

ご質問の答えからは少しずれてしまいますが、Σ[n=1,∞]x^(n^2)　という級数は(ご存知かもしれませんが)大変面白い性質があります。
正確には1/2 +Σ[n=1,∞]x^(n^2)　(あるいは　Σ[n=-∞,∞]x^(n^2)でも同等)　という級数が大切で、重さ1/2の保型形式というものになります。
保型形式というのは興味深い変換公式を満たし、同じ性質(重さ、変換の群)を持つものがごく限られていることを利用して、しばしば保型形式同士の様々な関係式を導けることがあります。例えば、テータ関数Σ[n=-∞,∞]x^(n^2)の4乗があるアイゼンシュタイン級数とよばれるものになることから、全ての自然数nは必ず4つの平方数の和で表すことができ、さらにその表し方の方法の数が 8×(nの4で割れない約数の和)に等しいことも分かります。ただし表し方の方法は
1=1^2+0^2+0^2+0^2=0^2+1^2+0^2+0^2=0^2+0^2+1^2+0^2=0^2+0^2+0^2+1^2
=(-1)^2+0^2+0^2+0^2=0^2+(-1)^2+0^2+0^2=0^2+0^2+(-1)^2+0^2=0^2+0^2+0^2+(-1)^2
のように順番や、±も別々に数えるものとします。

テータ関数、テータ級数、q展開、q series、保型関数、保型形式、アイゼンシュタイン(Eisenstein)級数、四平方数定理などの検索ワードで調べれば関連するトピックに関する沢山の情報が見つかると思います。
また、楕円関数(elliptic function)というものをご存知でしたら、ヤコビ(Jacobi)形式と呼ばれる、楕円関数と保型形式の両方の性質を持つ2変数関数もあるのでよかったら調べてみてください。変換公式だけでなく加法公式や、無限積など色々不思議な公式を持っていて、面白い対象です。ヤコビテータ関数などで調べれば、色々情報が見つかると思います。

お礼

有意義な情報、まことにありがとうございます。
多角数定理など、「2乗」はうまくいくことが多いのに、「3乗」になると興味深い性質はなさそうなのですね。