級数の和を求めてください

質問

n
級数の和　Σkx^kはどうやったら求めることができるのでしょうか？
　　　　　ｋ＝１

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

x=1のときは等差数列の和1+2+3+・・・+nで
(与式)=Σ(k=1 to n)k=n(n+1)/2

ｘ≠1のときは
2つ主な解法があって，
[１]数Aの範囲の基本的解法（重要）
S=x+2x^2+3x^3+・・・+(n-1)x^(n-1)+nx^n ・・・（１）
xを両辺に掛けて1項右にずらすと
xS=　x^2+2x^3+3x^4+・・・+(n-1)x^n+nx^(n+1)　・・・（２）
(1)-(2)より右辺は同じ次数の項を計算することに注意して
(1-x)S=x+x^2+x^3+・・・+x^n-nx^(n+1)　
ここで，右辺は最後の1項以外は等比数列の和の形なので, x≠1より
(1-x)S=x{x^n -1}/(x-1)　-nx^(n+1)=-{n(x-1)x^(n+1)-x^(n+1)+x}/(x-1)
＝-{nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1)+x}/(x-1)
よって(1-x)で割って
S={nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1)+x}/(x-1)^2

[２][数(3)の]微分法を使う方法(理系向き)
等比数列の和の公式
Σ(k=1 to n)x^k ＝(x^(n+1)-x)／(x-1)
は任意のx(≠1)で成立[恒等式]より
この両辺をxで微分して(右辺は商の微分法などによる)
Σ(k=1 to n) kx^(k-1)＝[{(n+1)(x^n)-1}*(x-1)－(x^(n+1)-x)*1]／(x-1)^2
　　　　　　　　　　 　＝{nx^(n+1)-(n+1)x^n +1}／(x-1)^2
この両辺にxを掛けて
Σ(k=1 to n) kx^k＝{nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1) +x}／(x-1)^2

お礼

ご解答ありがとうございます。[1]で合計と合計にｘをかけたやつをくくると、右辺と同じというのは気が付かなかったなぁ。

回答No.3

pinga999

たびたび、すみません、、、、　NO1の者です、、、、

　僕の回答完全に間違いですね＾＾　欠陥（笑）　って笑ってる場合じゃないですね、本当に迷惑をおかけしてごめんなさい、、、、

ｘ＾ｋ の前の文字が定数だったら成り立つと思うのですが、この場合はＮＧですねぇ～

NO3の方が回答してくださってる、[１]の解法がＢＥＳＴみたいですね、、、、
　　　　先生に前に説明してもらった記憶がよみがえりました、、、、、
　　　　　　　　高校生なんです、、、、

本当に、でっしゃばったことをして、ごめんなさい、、、、
　　　　　　　　　　ガキの出る幕じゃなかったですね、、、、、、

　　　　　　　_(._.)_　ご迷惑をおかけしました、、、、、

お礼

どうもありがとうございます。ぼくも高校生で、こういうインターネットってありがたいんですよねぇ。よく利用したりします。

回答No.1

pinga999

こんばんわ！＾＾

　　あんまり自信ないですけど、、、等比数列の和の公式が使えそうな気がします、、、

はじめに、kx^kを　等比数列の一般工の形に変形して、kx・ｘ＾ｋ－１（ケイエックス 掛ける ケイ引く一乗）とすると、初項がkx　公比がｘなので、　後は、等比数列の和の公式に当てはめたらどうかなぁ～

　　　　　　間違ってたらごめんなさい、、、、

お礼

ご解答ありがとうございます。